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剑指 Offer II 003. 前 n 个数字二进制中 1 的个数

题目描述

给定一个非负整数 n ，请计算 0 到 n 之间的每个数字的二进制表示中 1 的个数，并输出一个数组。

 

示例 1:

输入: n = 2
输出: [0,1,1]
解释: 
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10

示例 2:

输入: n = 5
输出: [0,1,1,2,1,2]
解释:
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101

 

说明 :

  • 0 <= n <= 105

 

进阶:

  • 给出时间复杂度为 O(n*sizeof(integer)) 的解答非常容易。但你可以在线性时间 O(n) 内用一趟扫描做到吗？
  • 要求算法的空间复杂度为 O(n) 。
  • 你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount ）来执行此操作。

 

注意：本题与主站 338 题相同：https://leetcode.cn/problems/counting-bits/

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i]$ 表示整数 $i$ 的二进制表示中 $1$ 的个数。那么对于一个整数 $i$，它的二进制表示中 $1$ 的个数为 $f[i \wedge (i - 1)] + 1$，其中 $i \wedge (i - 1)$ 是将 $i$ 的二进制表示中的最低位的 $1$ 变成 $0$ 之后的数，显然 $i \wedge (i - 1) \lt i$，且 $f[i \wedge (i - 1)]$ 已经被计算出来了，因此我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i] = f[i \wedge (i - 1)] + 1 $$

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 是题目给定的整数。忽略答案数组的空间消耗，空间复杂度 $O(1)$。

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class Solution:
    def countBits(self, n: int) -> List[int]:
        f = [0] * (n + 1)
        for i in range(1, n + 1):
            f[i] = f[i & (i - 1)] + 1
        return f

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class Solution {
    public int[] countBits(int n) {
        int[] f = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            f[i] = f[i & (i - 1)] + 1;
        }
        return f;
    }
}

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class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int> f(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            f[i] = f[i & (i - 1)] + 1;
        }
        return f;
    }
};

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func countBits(n int) []int {
    f := make([]int, n+1)
    for i := 1; i <= n; i++ {
        f[i] = f[i&(i-1)] + 1
    }
    return f
}

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function countBits(n: number): number[] {
    const f: number[] = Array(n + 1).fill(0);
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        f[i] = f[i & (i - 1)] + 1;
    }
    return f;
}

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