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1262. 可被三整除的最大和

题目描述

给你一个整数数组 nums，请你找出并返回能被三整除的元素 最大和。

 

示例 1：

输入：nums = [3,6,5,1,8]
输出：18
解释：选出数字 3, 6, 1 和 8，它们的和是 18（可被 3 整除的最大和）。

示例 2：

输入：nums = [4]
输出：0
解释：4 不能被 3 整除，所以无法选出数字，返回 0。

示例 3：

输入：nums = [1,2,3,4,4]
输出：12
解释：选出数字 1, 3, 4 以及 4，它们的和是 12（可被 3 整除的最大和）。

 

提示：

  • 1 <= nums.length <= 4 * 104
  • 1 <= nums[i] <= 104

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数中选取若干个数，使得这若干个数的和模 $3$ 余 $j$ 的最大值。初始时 $f[0][0]=0$，其余为 $-\infty$。

对于 $f[i][j]$，我们可以考虑第 $i$ 个数 $x$ 的状态：

  • 如果我们不选 $x$，那么 $f[i][j]=f[i-1][j]$；
  • 如果我们选 $x$，那么 $f[i][j]=f[i-1][(j-x \bmod 3 + 3)\bmod 3]+x$。

因此我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i][j]=\max{f[i-1][j],f[i-1][(j-x \bmod 3 + 3)\bmod 3]+x} $$

最终答案为 $f[n][0]$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。

注意到 $f[i][j]$ 的值只与 $f[i-1][j]$ 和 $f[i-1][(j-x \bmod 3 + 3)\bmod 3]$ 有关，因此我们可以使用滚动数组优化空间复杂度，使空间复杂度降低为 $O(1)$。

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class Solution:
    def maxSumDivThree(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        f = [[-inf] * 3 for _ in range(n + 1)]
        f[0][0] = 0
        for i, x in enumerate(nums, 1):
            for j in range(3):
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][(j - x) % 3] + x)
        return f[n][0]

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class Solution {
    public int maxSumDivThree(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        final int inf = 1 << 30;
        int[][] f = new int[n + 1][3];
        f[0][1] = f[0][2] = -inf;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int x = nums[i - 1];
            for (int j = 0; j < 3; ++j) {
                f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i - 1][(j - x % 3 + 3) % 3] + x);
            }
        }
        return f[n][0];
    }
}

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class Solution {
public:
    int maxSumDivThree(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        const int inf = 1 << 30;
        int f[n + 1][3];
        f[0][0] = 0;
        f[0][1] = f[0][2] = -inf;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int x = nums[i - 1];
            for (int j = 0; j < 3; ++j) {
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][(j - x % 3 + 3) % 3] + x);
            }
        }
        return f[n][0];
    }
};

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func maxSumDivThree(nums []int) int {
    n := len(nums)
    const inf = 1 << 30
    f := make([][3]int, n+1)
    f[0] = [3]int{0, -inf, -inf}
    for i, x := range nums {
        i++
        for j := 0; j < 3; j++ {
            f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][(j-x%3+3)%3]+x)
        }
    }
    return f[n][0]
}

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function maxSumDivThree(nums: number[]): number {
    const n = nums.length;
    const inf = 1 << 30;
    const f: number[][] = Array(n + 1)
        .fill(0)
        .map(() => Array(3).fill(-inf));
    f[0][0] = 0;
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        const x = nums[i - 1];
        for (let j = 0; j < 3; ++j) {
            f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i - 1][(j - (x % 3) + 3) % 3] + x);
        }
    }
    return f[n][0];
}

方法二

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class Solution:
    def maxSumDivThree(self, nums: List[int]) -> int:
        f = [0, -inf, -inf]
        for x in nums:
            g = f[:]
            for j in range(3):
                g[j] = max(f[j], f[(j - x) % 3] + x)
            f = g
        return f[0]

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class Solution {
    public int maxSumDivThree(int[] nums) {
        final int inf = 1 << 30;
        int[] f = new int[] {0, -inf, -inf};
        for (int x : nums) {
            int[] g = f.clone();
            for (int j = 0; j < 3; ++j) {
                g[j] = Math.max(f[j], f[(j - x % 3 + 3) % 3] + x);
            }
            f = g;
        }
        return f[0];
    }
}

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class Solution {
public:
    int maxSumDivThree(vector<int>& nums) {
        const int inf = 1 << 30;
        vector<int> f = {0, -inf, -inf};
        for (int& x : nums) {
            vector<int> g = f;
            for (int j = 0; j < 3; ++j) {
                g[j] = max(f[j], f[(j - x % 3 + 3) % 3] + x);
            }
            f = move(g);
        }
        return f[0];
    }
};

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func maxSumDivThree(nums []int) int {
    const inf = 1 << 30
    f := [3]int{0, -inf, -inf}
    for _, x := range nums {
        g := [3]int{}
        for j := range f {
            g[j] = max(f[j], f[(j-x%3+3)%3]+x)
        }
        f = g
    }
    return f[0]
}

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function maxSumDivThree(nums: number[]): number {
    const inf = 1 << 30;
    const f: number[] = [0, -inf, -inf];
    for (const x of nums) {
        const g = [...f];
        for (let j = 0; j < 3; ++j) {
            f[j] = Math.max(g[j], g[(j - (x % 3) + 3) % 3] + x);
        }
    }
    return f[0];
}

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