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330. 按要求补齐数组

题目描述

给定一个已排序的正整数数组 nums ，和一个正整数 n 。从 [1, n] 区间内选取任意个数字补充到 nums 中，使得 [1, n] 区间内的任何数字都可以用 nums 中某几个数字的和来表示。

请返回 满足上述要求的最少需要补充的数字个数 。

 

示例 1:

输入: nums = [1,3], n = 6
输出: 1 
解释:
根据 nums 里现有的组合 [1], [3], [1,3]，可以得出 1, 3, 4。
现在如果我们将 2 添加到 nums 中， 组合变为: [1], [2], [3], [1,3], [2,3], [1,2,3]。
其和可以表示数字 1, 2, 3, 4, 5, 6，能够覆盖 [1, 6] 区间里所有的数。
所以我们最少需要添加一个数字。

示例 2:

输入: nums = [1,5,10], n = 20
输出: 2
解释: 我们需要添加 [2,4]。

示例 3:

输入: nums = [1,2,2], n = 5
输出: 0

 

提示：

  • 1 <= nums.length <= 1000
  • 1 <= nums[i] <= 104
  • nums 按 升序排列
  • 1 <= n <= 231 - 1

解法

方法一：贪心

我们假设数字 $x$ 是最小的不能表示的正整数，那么 $[1,..x-1]$ 的这些数都是可以表示的。为了能表示数字 $x$，我们需要添加一个小于等于 $x$ 的数：

  • 如果添加的数等于 $x$，由于 $[1,..x-1]$ 的数都可以表示，添加 $x$ 后，区间 $[1,..2x-1]$ 内的数都可以表示，最小的不能表示的正整数变成了 $2x$。
  • 如果添加的数小于 $x$，不妨设为 $x'$，由于 $[1,..x-1]$ 的数都可以表示，添加 $x'$ 后，区间 $[1,..x+x'-1]$ 内的数都可以表示，最小的不能表示的正整数变成了 $x+x' \lt 2x$。

因此，我们应该贪心地添加数字 $x$，这样可以覆盖的区间更大。

我们用一个变量 $x$ 记录当前不能表示的最小正整数，初始化为 $1$，此时 $[1,..x-1]$ 是空的，表示当前没有任何数可以被覆盖；用一个变量 $i$ 记录当前遍历到的数组下标。

循环进行以下操作：

  • 如果 $i$ 在数组范围内且 $nums[i] \le x$，说明当前数字可以被覆盖，因此将 $x$ 的值加上 $nums[i]$，并将 $i$ 的值加 $1$。
  • 否则，说明 $x$ 没有被覆盖，因此需要在数组中补充一个数 $x$，然后 $x$ 更新为 $2x$。
  • 重复上述操作，直到 $x$ 的值大于 $n$。

最终答案即为补充的数的数量。

时间复杂度 $O(m + \log n)$，其中 $m$ 为数组 $nums$ 的长度。空间复杂度 $O(1)$。

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class Solution:
    def minPatches(self, nums: List[int], n: int) -> int:
        x = 1
        ans = i = 0
        while x <= n:
            if i < len(nums) and nums[i] <= x:
                x += nums[i]
                i += 1
            else:
                ans += 1
                x <<= 1
        return ans

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class Solution {
    public int minPatches(int[] nums, int n) {
        long x = 1;
        int ans = 0;
        for (int i = 0; x <= n;) {
            if (i < nums.length && nums[i] <= x) {
                x += nums[i++];
            } else {
                ++ans;
                x <<= 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    int minPatches(vector<int>& nums, int n) {
        long long x = 1;
        int ans = 0;
        for (int i = 0; x <= n;) {
            if (i < nums.size() && nums[i] <= x) {
                x += nums[i++];
            } else {
                ++ans;
                x <<= 1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

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func minPatches(nums []int, n int) (ans int) {
    x := 1
    for i := 0; x <= n; {
        if i < len(nums) && nums[i] <= x {
            x += nums[i]
            i++
        } else {
            ans++
            x <<= 1
        }
    }
    return
}

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function minPatches(nums: number[], n: number): number {
    let x = 1;
    let ans = 0;
    for (let i = 0; x <= n; ) {
        if (i < nums.length && nums[i] <= x) {
            x += nums[i++];
        } else {
            ++ans;
            x *= 2;
        }
    }
    return ans;
}

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