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1175. 质数排列

题目描述

请你帮忙给从 1 到 n 的数设计排列方案，使得所有的「质数」都应该被放在「质数索引」（索引从 1 开始）上；你需要返回可能的方案总数。

让我们一起来回顾一下「质数」：质数一定是大于 1 的，并且不能用两个小于它的正整数的乘积来表示。

由于答案可能会很大，所以请你返回答案 模 mod 10^9 + 7 之后的结果即可。

 

示例 1：

输入：n = 5
输出：12
解释：举个例子，[1,2,5,4,3] 是一个有效的排列，但 [5,2,3,4,1] 不是，因为在第二种情况里质数 5 被错误地放在索引为 1 的位置上。

示例 2：

输入：n = 100
输出：682289015

 

提示：

  • 1 <= n <= 100

解法

方法一：数学

先统计 $[1,n]$ 范围内的质数个数，我们记为 $cnt$。然后求 $cnt$ 以及 $n-cnt$ 阶乘的乘积得到答案，注意取模操作。

这里我们用“埃氏筛”统计质数。

如果 $x$ 是质数，那么大于 $x$ 的 $x$ 的倍数 $2x$,$3x$,… 一定不是质数，因此我们可以从这里入手。

设 $primes[i]$ 表示数 $i$ 是不是质数，如果是质数则为 $true$，否则为 $false$。

我们在 $[2,n]$ 范围内顺序遍历每个数 $i$，如果这个数为质数，质数个数增 $1$，然后将其所有的倍数 $j$ 都标记为合数（除了该质数本身），即 $primes[j]=false$，这样在运行结束的时候我们即能知道质数的个数。

时间复杂度 $O(n \times \log \log n)$。

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class Solution:
    def numPrimeArrangements(self, n: int) -> int:
        def count(n):
            cnt = 0
            primes = [True] * (n + 1)
            for i in range(2, n + 1):
                if primes[i]:
                    cnt += 1
                    for j in range(i + i, n + 1, i):
                        primes[j] = False
            return cnt

        cnt = count(n)
        ans = factorial(cnt) * factorial(n - cnt)
        return ans % (10**9 + 7)

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class Solution {
    private static final int MOD = (int) 1e9 + 7;

    public int numPrimeArrangements(int n) {
        int cnt = count(n);
        long ans = f(cnt) * f(n - cnt);
        return (int) (ans % MOD);
    }

    private long f(int n) {
        long ans = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            ans = (ans * i) % MOD;
        }
        return ans;
    }

    private int count(int n) {
        int cnt = 0;
        boolean[] primes = new boolean[n + 1];
        Arrays.fill(primes, true);
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            if (primes[i]) {
                ++cnt;
                for (int j = i + i; j <= n; j += i) {
                    primes[j] = false;
                }
            }
        }
        return cnt;
    }
}

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using ll = long long;
const int MOD = 1e9 + 7;

class Solution {
public:
    int numPrimeArrangements(int n) {
        int cnt = count(n);
        ll ans = f(cnt) * f(n - cnt);
        return (int) (ans % MOD);
    }

    ll f(int n) {
        ll ans = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) ans = (ans * i) % MOD;
        return ans;
    }

    int count(int n) {
        vector<bool> primes(n + 1, true);
        int cnt = 0;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            if (primes[i]) {
                ++cnt;
                for (int j = i + i; j <= n; j += i) primes[j] = false;
            }
        }
        return cnt;
    }
};

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func numPrimeArrangements(n int) int {
    count := func(n int) int {
        cnt := 0
        primes := make([]bool, n+1)
        for i := range primes {
            primes[i] = true
        }
        for i := 2; i <= n; i++ {
            if primes[i] {
                cnt++
                for j := i + i; j <= n; j += i {
                    primes[j] = false
                }
            }
        }
        return cnt
    }

    mod := int(1e9) + 7
    f := func(n int) int {
        ans := 1
        for i := 2; i <= n; i++ {
            ans = (ans * i) % mod
        }
        return ans
    }

    cnt := count(n)
    ans := f(cnt) * f(n-cnt)
    return ans % mod
}

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