题目描述
给定一个整数 n，计算所有小于等于 n 的非负整数中数字 1 出现的个数。
示例 1：
输入：n = 13
输出：6
示例 2：
输入：n = 0
输出：0
提示：
解法
方法一：数位 DP
这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中，数字中出现 $1$ 个数。个数与数的位数以及每一位上的数字有关。我们可以用数位 DP 的思路来解决这道题。数位 DP 中，数的大小对复杂度的影响很小。
对于区间 $[l,..r]$ 问题，我们一般会将其转化为 $[1,..r]$ 然后再减去 $[1,..l - 1]$ 的问题，即：
$$
ans = \sum_{i=1}^{r} ans_i - \sum_{i=1}^{l-1} ans_i
$$
不过对于本题而言，我们只需要求出区间 $[1,..r]$ 的值即可。
这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终的答案。
基本步骤如下：
- 将数字 $n$ 转为 int 数组 $a$，其中 $a[1]$ 为最低位，而 $a[len]$ 为最高位；
- 根据题目信息，设计函数 $dfs()$，对于本题，我们定义 $dfs(pos, cnt, limit)$，答案为 $dfs(len, 0, true)$。
其中：
pos 表示数字的位数，从末位或者第一位开始，一般根据题目的数字构造性质来选择顺序。对于本题，我们选择从高位开始，因此，pos 的初始值为 len；cnt 表示当前数字中包含的 $1$ 的个数。limit 表示可填的数字的限制，如果无限制，那么可以选择 $[0,1,..9]$，否则，只能选择 $[0,..a[pos]]$。如果 limit 为 true 且已经取到了能取到的最大值，那么下一个 limit 同样为 true；如果 limit 为 true 但是还没有取到最大值，或者 limit 为 false，那么下一个 limit 为 false。
关于函数的实现细节，可以参考下面的代码。
时间复杂度 $O(\log n)$。
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19 | class Solution:
def countDigitOne(self, n: int) -> int:
@cache
def dfs(pos, cnt, limit):
if pos <= 0:
return cnt
up = a[pos] if limit else 9
ans = 0
for i in range(up + 1):
ans += dfs(pos - 1, cnt + (i == 1), limit and i == up)
return ans
a = [0] * 12
l = 1
while n:
a[l] = n % 10
n //= 10
l += 1
return dfs(l, 0, True)
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34 | class Solution {
private int[] a = new int[12];
private int[][] dp = new int[12][12];
public int countDigitOne(int n) {
int len = 0;
while (n > 0) {
a[++len] = n % 10;
n /= 10;
}
for (var e : dp) {
Arrays.fill(e, -1);
}
return dfs(len, 0, true);
}
private int dfs(int pos, int cnt, boolean limit) {
if (pos <= 0) {
return cnt;
}
if (!limit && dp[pos][cnt] != -1) {
return dp[pos][cnt];
}
int up = limit ? a[pos] : 9;
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= up; ++i) {
ans += dfs(pos - 1, cnt + (i == 1 ? 1 : 0), limit && i == up);
}
if (!limit) {
dp[pos][cnt] = ans;
}
return ans;
}
}
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33 | class Solution {
public:
int a[12];
int dp[12][12];
int countDigitOne(int n) {
int len = 0;
while (n) {
a[++len] = n % 10;
n /= 10;
}
memset(dp, -1, sizeof dp);
return dfs(len, 0, true);
}
int dfs(int pos, int cnt, bool limit) {
if (pos <= 0) {
return cnt;
}
if (!limit && dp[pos][cnt] != -1) {
return dp[pos][cnt];
}
int ans = 0;
int up = limit ? a[pos] : 9;
for (int i = 0; i <= up; ++i) {
ans += dfs(pos - 1, cnt + (i == 1), limit && i == up);
}
if (!limit) {
dp[pos][cnt] = ans;
}
return ans;
}
};
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42 | func countDigitOne(n int) int {
a := make([]int, 12)
dp := make([][]int, 12)
for i := range dp {
dp[i] = make([]int, 12)
for j := range dp[i] {
dp[i][j] = -1
}
}
l := 0
for n > 0 {
l++
a[l] = n % 10
n /= 10
}
var dfs func(int, int, bool) int
dfs = func(pos, cnt int, limit bool) int {
if pos <= 0 {
return cnt
}
if !limit && dp[pos][cnt] != -1 {
return dp[pos][cnt]
}
up := 9
if limit {
up = a[pos]
}
ans := 0
for i := 0; i <= up; i++ {
t := cnt
if i == 1 {
t++
}
ans += dfs(pos-1, t, limit && i == up)
}
if !limit {
dp[pos][cnt] = ans
}
return ans
}
return dfs(l, 0, true)
}
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17 | public class Solution {
public int CountDigitOne(int n) {
if (n <= 0) return 0;
if (n < 10) return 1;
return CountDigitOne(n / 10 - 1) * 10 + n / 10 + CountDigitOneOfN(n / 10) * (n % 10 + 1) + (n % 10 >= 1 ? 1 : 0);
}
private int CountDigitOneOfN(int n) {
var count = 0;
while (n > 0)
{
if (n % 10 == 1) ++count;
n /= 10;
}
return count;
}
}
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