829. 连续整数求和
题目描述
给定一个正整数 n
,返回 连续正整数满足所有数字之和为 n
的组数 。
示例 1:
输入: n = 5 输出: 2 解释: 5 = 2 + 3,共有两组连续整数([5],[2,3])求和后为 5。
示例 2:
输入: n = 9 输出: 3 解释: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4
示例 3:
输入: n = 15 输出: 4 解释: 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
提示:
1 <= n <= 109
解法
方法一:数学推导
连续正整数构成一个等差数列($d=1$)。我们假设等差数列的第一项为 $a$,项数为 $k$,则 $n=(a+a+k-1)k/2$,即 $n2=(a2+k-1)k$ ①。
由于是连续正整数, $a>=1$,所以 ① 可以化为 $n2>=(k+1)k$,即 $k(k+1)<=n2$ ②。
因此,$k$ 的范围需要满足 $k>=1$ 并且 $k(k+1)<=n2$。另外,我们从 ① 式可以发现,$k$ 必须能整除 $n*2$。
综上,我们枚举 $k$,累加满足条件的 $k$ 的个数即可。
时间复杂度 $O(\sqrt{n})$。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
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