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338. 比特位计数

题目描述

给你一个整数 n ，对于 0 <= i <= n 中的每个 i ，计算其二进制表示中 1 的个数 ，返回一个长度为 n + 1 的数组 ans 作为答案。

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：[0,1,1]
解释：
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10

示例 2：

输入：n = 5
输出：[0,1,1,2,1,2]
解释：
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101

 

提示：

  • 0 <= n <= 105

 

进阶：

  • 很容易就能实现时间复杂度为 O(n log n) 的解决方案，你可以在线性时间复杂度 O(n) 内用一趟扫描解决此问题吗？
  • 你能不使用任何内置函数解决此问题吗？（如，C++ 中的 __builtin_popcount ）

解法

方法一：位运算

我们直接枚举 $0 \leq i \leq n$ 中的每个数，对于每个数 $i$，我们用库函数或者 $lowbit$ 运算得到 $i$ 中二进制位 $1$ 的个数。

时间复杂度 $O(n \times \log n)$，忽略答案的空间消耗，空间复杂度 $O(1)$。

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class Solution:
    def countBits(self, n: int) -> List[int]:
        return [i.bit_count() for i in range(n + 1)]

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class Solution {
    public int[] countBits(int n) {
        int[] ans = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            ans[i] = Integer.bitCount(i);
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int> ans(n + 1);
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            ans[i] = __builtin_popcount(i);
        }
        return ans;
    }
};

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func countBits(n int) []int {
    ans := make([]int, n+1)
    for i := 0; i <= n; i++ {
        ans[i] = bits.OnesCount(uint(i))
    }
    return ans
}

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function countBits(n: number): number[] {
    const ans: number[] = Array(n + 1).fill(0);
    for (let i = 0; i <= n; ++i) {
        ans[i] = bitCount(i);
    }
    return ans;
}

function bitCount(n: number): number {
    let count = 0;
    while (n) {
        n &= n - 1;
        ++count;
    }
    return count;
}

方法二：动态规划

我们定义一个长度为 $n+1$ 的答案数组 $ans$，初始时 $ans[0]=0$。

对于 $1 \leq i \leq n$，我们有 $ans[i] = ans[i \text{ and } (i-1)] + 1$。其中 $i \text{ and } (i-1)$ 表示将 $i$ 的二进制表示中的最低位 $1$ 变成 $0$ 之后的数，显然 $i \text{ and } (i-1) < i$，且 $ans[i \text{ and } (i-1)]$ 已经被计算出来了，我们就能以 $O(1)$ 的时间得到 $ans[i]$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(1)$。

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class Solution:
    def countBits(self, n: int) -> List[int]:
        ans = [0] * (n + 1)
        for i in range(1, n + 1):
            ans[i] = ans[i & (i - 1)] + 1
        return ans

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class Solution {
    public int[] countBits(int n) {
        int[] ans = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans[i] = ans[i & (i - 1)] + 1;
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        vector<int> ans(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans[i] = ans[i & (i - 1)] + 1;
        }
        return ans;
    }
};

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func countBits(n int) []int {
    ans := make([]int, n+1)
    for i := 1; i <= n; i++ {
        ans[i] = ans[i&(i-1)] + 1
    }
    return ans
}

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function countBits(n: number): number[] {
    const ans: number[] = Array(n + 1).fill(0);
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        ans[i] = ans[i & (i - 1)] + 1;
    }
    return ans;
}

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