650. 两个键的键盘

题目描述

最初记事本上只有一个字符 'A' 。你每次可以对这个记事本进行两种操作：

Copy All（复制全部）：复制这个记事本中的所有字符（不允许仅复制部分字符）。
Paste（粘贴）：粘贴 上一次 复制的字符。

给你一个数字 n ，你需要使用最少的操作次数，在记事本上输出恰好 n 个 'A' 。返回能够打印出 n 个 'A' 的最少操作次数。

示例 1：

输入：3
输出：3
解释：
最初, 只有一个字符 'A'。
第 1 步, 使用 Copy All 操作。
第 2 步, 使用 Paste 操作来获得 'AA'。
第 3 步, 使用 Paste 操作来获得 'AAA'。

示例 2：

输入：n = 1
输出：0

提示：

1 <= n <= 1000

解法

方法一：记忆化搜索

定义 $dfs(i)$ 为输出 $i$ 个字符的最少操作次数。初始化 dfs(1)=0。

当 $i\gt 1$ 时，有：

$$ dfs(i)=\min _{j \mid i} (dfs(\frac{i}{j})+j, i), 2\leq j\lt i $$

时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

Python3JavaC++Go

class Solution:
    def minSteps(self, n: int) -> int:
        @cache
        def dfs(n):
            if n == 1:
                return 0
            i, ans = 2, n
            while i * i <= n:
                if n % i == 0:
                    ans = min(ans, dfs(n // i) + i)
                i += 1
            return ans

        return dfs(n)

class Solution {
    private int[] f;

    public int minSteps(int n) {
        f = new int[n + 1];
        Arrays.fill(f, -1);
        return dfs(n);
    }

    private int dfs(int n) {
        if (n == 1) {
            return 0;
        }
        if (f[n] != -1) {
            return f[n];
        }
        int ans = n;
        for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
            if (n % i == 0) {
                ans = Math.min(ans, dfs(n / i) + i);
            }
        }
        f[n] = ans;
        return ans;
    }
}

class Solution {
public:
    vector<int> f;

    int minSteps(int n) {
        f.assign(n + 1, -1);
        return dfs(n);
    }

    int dfs(int n) {
        if (n == 1) return 0;
        if (f[n] != -1) return f[n];
        int ans = n;
        for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
            if (n % i == 0) {
                ans = min(ans, dfs(n / i) + i);
            }
        }
        f[n] = ans;
        return ans;
    }
};

func minSteps(n int) int {
    f := make([]int, n+1)
    for i := range f {
        f[i] = -1
    }
    var dfs func(int) int
    dfs = func(n int) int {
        if n == 1 {
            return 0
        }
        if f[n] != -1 {
            return f[n]
        }
        ans := n
        for i := 2; i*i <= n; i++ {
            if n%i == 0 {
                ans = min(ans, dfs(n/i)+i)
            }
        }
        return ans
    }
    return dfs(n)
}

方法二：动态规划

记忆化搜索也可以改成动态规划。

$$ dp[i]=\min _{j \mid i} (dp[\frac{i}{j}]+j, i), 2\leq j\lt i $$