题目描述
给出矩阵 matrix 和目标值 target，返回元素总和等于目标值的非空子矩阵的数量。
子矩阵 x1, y1, x2, y2 是满足 x1 <= x <= x2 且 y1 <= y <= y2 的所有单元 matrix[x][y] 的集合。
如果 (x1, y1, x2, y2) 和 (x1', y1', x2', y2') 两个子矩阵中部分坐标不同（如：x1 != x1'），那么这两个子矩阵也不同。
示例 1：
输入：matrix = [[0,1,0],[1,1,1],[0,1,0]], target = 0
输出：4
解释：四个只含 0 的 1x1 子矩阵。
示例 2：
输入：matrix = [[1,-1],[-1,1]], target = 0
输出：5
解释：两个 1x2 子矩阵，加上两个 2x1 子矩阵，再加上一个 2x2 子矩阵。
示例 3：
输入：matrix = [[904]], target = 0
输出：0
提示：
1 <= matrix.length <= 1001 <= matrix[0].length <= 100-1000 <= matrix[i][j] <= 1000-10^8 <= target <= 10^8
解法
方法一：枚举上下边界 + 前缀和 + 哈希表
我们可以枚举矩阵的上下边界 $i$ 和 $j$，每次算出当前上下边界内每列的元素和，记为数组 $col$，然后问题就转换为如何在数组 $col$ 中寻找和为目标值 $target$ 的子数组个数。我们累加这些子数组的个数，就是题目要求的答案。
那么题目就变成了：给定一个数组 $nums$ 和目标值 $target$，计算有多少个子数组的和为 $target$，我们可以通过函数 $f(nums, target)$ 来求解。
函数 $f(nums, target)$ 的计算方法如下：
- 定义一个哈希表 $d$，用来记录出现过的前缀和以及其出现次数，初始时 $d[0] = 1$；
- 初始化变量 $s = 0, cnt = 0$，其中 $s$ 表示前缀和，而 $cnt$ 表示和为 $target$ 的子数组个数；
- 从左到右遍历数组 $nums$，对于当前遍历到的元素 $x$，更新前缀和 $s = s + x$，如果 $d[s - target]$ 的值存在，那么更新 $cnt = cnt + d[s - target]$，即子数组个数增加 $d[s - target]$。然后更新哈希表中元素 $d[s]$ 的值，即 $d[s] = d[s] + 1$；继续遍历下一个元素；
- 遍历结束之后，返回子数组个数 $cnt$。
时间复杂度 $O(m^2 \times n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别是矩阵的行数和列数。
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21 | class Solution:
def numSubmatrixSumTarget(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> int:
def f(nums: List[int]) -> int:
d = defaultdict(int)
d[0] = 1
cnt = s = 0
for x in nums:
s += x
cnt += d[s - target]
d[s] += 1
return cnt
m, n = len(matrix), len(matrix[0])
ans = 0
for i in range(m):
col = [0] * n
for j in range(i, m):
for k in range(n):
col[k] += matrix[j][k]
ans += f(col)
return ans
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28 | class Solution {
public int numSubmatrixSumTarget(int[][] matrix, int target) {
int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
int ans = 0;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
int[] col = new int[n];
for (int j = i; j < m; ++j) {
for (int k = 0; k < n; ++k) {
col[k] += matrix[j][k];
}
ans += f(col, target);
}
}
return ans;
}
private int f(int[] nums, int target) {
Map<Integer, Integer> d = new HashMap<>();
d.put(0, 1);
int s = 0, cnt = 0;
for (int x : nums) {
s += x;
cnt += d.getOrDefault(s - target, 0);
d.merge(s, 1, Integer::sum);
}
return cnt;
}
}
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30 | class Solution {
public:
int numSubmatrixSumTarget(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
int ans = 0;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
vector<int> col(n);
for (int j = i; j < m; ++j) {
for (int k = 0; k < n; ++k) {
col[k] += matrix[j][k];
}
ans += f(col, target);
}
}
return ans;
}
int f(vector<int>& nums, int target) {
unordered_map<int, int> d{{0, 1}};
int cnt = 0, s = 0;
for (int& x : nums) {
s += x;
if (d.count(s - target)) {
cnt += d[s - target];
}
++d[s];
}
return cnt;
}
};
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26 | func numSubmatrixSumTarget(matrix [][]int, target int) (ans int) {
m, n := len(matrix), len(matrix[0])
for i := 0; i < m; i++ {
col := make([]int, n)
for j := i; j < m; j++ {
for k := 0; k < n; k++ {
col[k] += matrix[j][k]
}
ans += f(col, target)
}
}
return
}
func f(nums []int, target int) (cnt int) {
d := map[int]int{0: 1}
s := 0
for _, x := range nums {
s += x
if v, ok := d[s-target]; ok {
cnt += v
}
d[s]++
}
return
}
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30 | function numSubmatrixSumTarget(matrix: number[][], target: number): number {
const m = matrix.length;
const n = matrix[0].length;
let ans = 0;
for (let i = 0; i < m; ++i) {
const col: number[] = new Array(n).fill(0);
for (let j = i; j < m; ++j) {
for (let k = 0; k < n; ++k) {
col[k] += matrix[j][k];
}
ans += f(col, target);
}
}
return ans;
}
function f(nums: number[], target: number): number {
const d: Map<number, number> = new Map();
d.set(0, 1);
let cnt = 0;
let s = 0;
for (const x of nums) {
s += x;
if (d.has(s - target)) {
cnt += d.get(s - target)!;
}
d.set(s, (d.get(s) || 0) + 1);
}
return cnt;
}
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