2369. 检查数组是否存在有效划分

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，你必须将数组划分为一个或多个连续子数组。

如果获得的这些子数组中每个都能满足下述条件之一，则可以称其为数组的一种有效划分：

子数组恰由 2 个相等元素组成，例如，子数组 [2,2] 。
子数组恰由 3 个相等元素组成，例如，子数组 [4,4,4] 。
子数组恰由 3 个连续递增元素组成，并且相邻元素之间的差值为 1 。例如，子数组 [3,4,5] ，但是子数组 [1,3,5] 不符合要求。

如果数组至少存在一种有效划分，返回 true ，否则，返回 false 。

示例 1：

输入：nums = [4,4,4,5,6]
输出：true
解释：数组可以划分成子数组 [4,4] 和 [4,5,6] 。
这是一种有效划分，所以返回 true 。

示例 2：

输入：nums = [1,1,1,2]
输出：false
解释：该数组不存在有效划分。

提示：

2 <= nums.length <= 10⁵
1 <= nums[i] <= 10⁶

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i)$，表示从下标 $i$ 开始是否存在一种有效划分。那么答案就是 $dfs(0)$。

函数 $dfs(i)$ 的执行过程如下：

如果 $i \ge n$，返回 $true$。
如果 $i$ 和 $i+1$ 下标的元素相等，那么可以选择将 $i$ 和 $i+1$ 作为一个子数组，递归调用 $dfs(i+2)$。
如果 $i$, $i+1$ 和 $i+2$ 下标的元素相等，那么可以选择将 $i$, $i+1$ 和 $i+2$ 作为一个子数组，递归调用 $dfs(i+3)$。
如果 $i$, $i+1$ 和 $i+2$ 下标的元素依次递增 $1$，那么可以选择将 $i$, $i+1$ 和 $i+2$ 作为一个子数组，递归调用 $dfs(i+3)$。
如果上述情况都不满足，返回 $false$，否则返回 $true$。

即：

$$ dfs(i) = \text{OR} \begin{cases} true,&i \ge n\ dfs(i+2),&i+1 < n \text{and} \textit{nums}[i] = \textit{nums}[i+1]\ dfs(i+3),&i+2 < n \text{and} \textit{nums}[i] = \textit{nums}[i+1] = \textit{nums}[i+2]\ dfs(i+3),&i+2 < n \text{and} \textit{nums}[i+1] - \textit{nums}[i] = 1 \text{and} \textit{nums}[i+2] - \textit{nums}[i+1] = 1 \end{cases} $$

为了避免重复计算，我们使用记忆化搜索的方法。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组的长度。

Python3JavaC++GoTypeScript

class Solution:
    def validPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        @cache
        def dfs(i: int) -> bool:
            if i >= n:
                return True
            a = i + 1 < n and nums[i] == nums[i + 1]
            b = i + 2 < n and nums[i] == nums[i + 1] == nums[i + 2]
            c = (
                i + 2 < n
                and nums[i + 1] - nums[i] == 1
                and nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1
            )
            return (a and dfs(i + 2)) or ((b or c) and dfs(i + 3))

        n = len(nums)
        return dfs(0)

class Solution {
    private int n;
    private int[] nums;
    private Boolean[] f;

    public boolean validPartition(int[] nums) {
        n = nums.length;
        this.nums = nums;
        f = new Boolean[n];
        return dfs(0);
    }

    private boolean dfs(int i) {
        if (i >= n) {
            return true;
        }
        if (f[i] != null) {
            return f[i];
        }
        boolean a = i + 1 < n && nums[i] == nums[i + 1];
        boolean b = i + 2 < n && nums[i] == nums[i + 1] && nums[i + 1] == nums[i + 2];
        boolean c = i + 2 < n && nums[i + 1] - nums[i] == 1 && nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1;
        return f[i] = ((a && dfs(i + 2)) || ((b || c) && dfs(i + 3)));
    }
}

class Solution {
public:
    bool validPartition(vector<int>& nums) {
        n = nums.size();
        this->nums = nums;
        f.assign(n, -1);
        return dfs(0);
    }

private:
    int n;
    vector<int> f;
    vector<int> nums;

    bool dfs(int i) {
        if (i >= n) {
            return true;
        }
        if (f[i] != -1) {
            return f[i] == 1;
        }
        bool a = i + 1 < n && nums[i] == nums[i + 1];
        bool b = i + 2 < n && nums[i] == nums[i + 1] && nums[i + 1] == nums[i + 2];
        bool c = i + 2 < n && nums[i + 1] - nums[i] == 1 && nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1;
        f[i] = ((a && dfs(i + 2)) || ((b || c) && dfs(i + 3))) ? 1 : 0;
        return f[i] == 1;
    }
};

func validPartition(nums []int) bool {
    n := len(nums)
    f := make([]int, n)
    for i := range f {
        f[i] = -1
    }
    var dfs func(int) bool
    dfs = func(i int) bool {
        if i == n {
            return true
        }
        if f[i] != -1 {
            return f[i] == 1
        }
        a := i+1 < n && nums[i] == nums[i+1]
        b := i+2 < n && nums[i] == nums[i+1] && nums[i+1] == nums[i+2]
        c := i+2 < n && nums[i+1]-nums[i] == 1 && nums[i+2]-nums[i+1] == 1
        f[i] = 0
        if a && dfs(i+2) || b && dfs(i+3) || c && dfs(i+3) {
            f[i] = 1
        }
        return f[i] == 1
    }
    return dfs(0)
}

function validPartition(nums: number[]): boolean {
    const n = nums.length;
    const f: number[] = Array(n).fill(-1);
    const dfs = (i: number): boolean => {
        if (i >= n) {
            return true;
        }
        if (f[i] !== -1) {
            return f[i] === 1;
        }
        const a = i + 1 < n && nums[i] == nums[i + 1];
        const b = i + 2 < n && nums[i] == nums[i + 1] && nums[i + 1] == nums[i + 2];
        const c = i + 2 < n && nums[i + 1] - nums[i] == 1 && nums[i + 2] - nums[i + 1] == 1;
        f[i] = (a && dfs(i + 2)) || ((b || c) && dfs(i + 3)) ? 1 : 0;
        return f[i] == 1;
    };
    return dfs(0);
}

方法二：动态规划

我们可以将方法一中的记忆化搜索转换为动态规划。

设 $f[i]$ 表示数组的前 $i$ 个元素是否存在一种有效划分，初始时 $f[0] = true$，答案就是 $f[n]$。

状态转移方程如下：

$$ f[i] = \text{OR} \begin{cases} true,&i = 0\ f[i-2],&i-2 \ge 0 \text{and} \textit{nums}[i-1] = \textit{nums}[i-2]\ f[i-3],&i-3 \ge 0 \text{and} \textit{nums}[i-1] = \textit{nums}[i-2] = \textit{nums}[i-3]\ f[i-3],&i-3 \ge 0 \text{and} \textit{nums}[i-1] - \textit{nums}[i-2] = 1 \text{and} \textit{nums}[i-2] - \textit{nums}[i-3] = 1 \end{cases} $$