题目描述
给你两个长度为 n 、下标从 0 开始的整数数组 nums1 和 nums2 ，另给你一个下标从 1 开始的二维数组 queries ，其中 queries[i] = [xi, yi] 。
对于第 i 个查询，在所有满足 nums1[j] >= xi 且 nums2[j] >= yi 的下标 j (0 <= j < n) 中，找出 nums1[j] + nums2[j] 的 最大值 ，如果不存在满足条件的 j 则返回 -1 。
返回数组 answer ，其中 answer[i] 是第 i 个查询的答案。
示例 1：
输入：nums1 = [4,3,1,2], nums2 = [2,4,9,5], queries = [[4,1],[1,3],[2,5]]
输出：[6,10,7]
解释：
对于第 1 个查询：xi = 4 且 yi = 1 ，可以选择下标 j = 0 ，此时 nums1[j] >= 4 且 nums2[j] >= 1 。nums1[j] + nums2[j] 等于 6 ，可以证明 6 是可以获得的最大值。
对于第 2 个查询：xi = 1 且 yi = 3 ，可以选择下标 j = 2 ，此时 nums1[j] >= 1 且 nums2[j] >= 3 。nums1[j] + nums2[j] 等于 10 ，可以证明 10 是可以获得的最大值。
对于第 3 个查询：xi = 2 且 yi = 5 ，可以选择下标 j = 3 ，此时 nums1[j] >= 2 且 nums2[j] >= 5 。nums1[j] + nums2[j] 等于 7 ，可以证明 7 是可以获得的最大值。
因此，我们返回 [6,10,7] 。
示例 2：
输入：nums1 = [3,2,5], nums2 = [2,3,4], queries = [[4,4],[3,2],[1,1]]
输出：[9,9,9]
解释：对于这个示例，我们可以选择下标 j = 2 ，该下标可以满足每个查询的限制。
示例 3：
输入：nums1 = [2,1], nums2 = [2,3], queries = [[3,3]]
输出：[-1]
解释：示例中的查询 xi = 3 且 yi = 3 。对于每个下标 j ，都只满足 nums1[j] < xi 或者 nums2[j] < yi 。因此，不存在答案。
提示：
nums1.length == nums2.length n == nums1.length 1 <= n <= 1051 <= nums1[i], nums2[i] <= 109 1 <= queries.length <= 105queries[i].length == 2xi == queries[i][1]yi == queries[i][2]1 <= xi, yi <= 109
解法
方法一：树状数组
本题属于二维偏序问题。
二维偏序是这样一类问题：给定若干个点对 $(a_1, b_1)$, $(a_2, b_2)$, $\cdots$, $(a_n, b_n)$，并定义某种偏序关系，现在给定点 $(a_i, b_i)$，求满足偏序关系的点对 $(a_j, b_j)$ 中的数量/最值。即：
$$
\left(a_{j}, b_{j}\right) \prec\left(a_{i}, b_{i}\right) \stackrel{\text { def }}{=} a_{j} \lesseqgtr a_{i} \text { and } b_{j} \lesseqgtr b_{i}
$$
二维偏序的一般解决方法是排序一维，用数据结构处理第二维（这种数据结构一般是树状数组）。
对于本题，我们可以创建一个数组 $nums$，其中 $nums[i]=(nums_1[i], nums_2[i])$，然后对 $nums$ 按照 $nums_1$ 从大到小的顺序排序，将查询 $queries$ 也按照 $x$ 从大到小的顺序排序。
接下来，遍历每个查询 $queries[i] = (x, y)$，对于当前查询，我们循环将 $nums$ 中所有大于等于 $x$ 的元素的 $nums_2$ 的值插入到树状数组中，树状数组维护的是离散化后的 $nums_2$ 的区间中 $nums_1 + nums_2$ 的最大值。那么我们只需要在树状数组中查询大于等于离散化后的 $y$ 区间对应的最大值即可。注意，由于树状数组维护的是前缀最大值，所以我们在实现上，可以将 $nums_2$ 反序插入到树状数组中。
时间复杂度 $O((n + m) \times \log n + m \times \log m)$，空间复杂度 $O(n + m)$。其中 $n$ 是数组 $nums$ 的长度，而 $m$ 是数组 $queries$ 的长度。
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39 | class BinaryIndexedTree:
__slots__ = ["n", "c"]
def __init__(self, n: int):
self.n = n
self.c = [-1] * (n + 1)
def update(self, x: int, v: int):
while x <= self.n:
self.c[x] = max(self.c[x], v)
x += x & -x
def query(self, x: int) -> int:
mx = -1
while x:
mx = max(mx, self.c[x])
x -= x & -x
return mx
class Solution:
def maximumSumQueries(
self, nums1: List[int], nums2: List[int], queries: List[List[int]]
) -> List[int]:
nums = sorted(zip(nums1, nums2), key=lambda x: -x[0])
nums2.sort()
n, m = len(nums1), len(queries)
ans = [-1] * m
j = 0
tree = BinaryIndexedTree(n)
for i in sorted(range(m), key=lambda i: -queries[i][0]):
x, y = queries[i]
while j < n and nums[j][0] >= x:
k = n - bisect_left(nums2, nums[j][1])
tree.update(k, nums[j][0] + nums[j][1])
j += 1
k = n - bisect_left(nums2, y)
ans[i] = tree.query(k)
return ans
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58 | class BinaryIndexedTree {
private int n;
private int[] c;
public BinaryIndexedTree(int n) {
this.n = n;
c = new int[n + 1];
Arrays.fill(c, -1);
}
public void update(int x, int v) {
while (x <= n) {
c[x] = Math.max(c[x], v);
x += x & -x;
}
}
public int query(int x) {
int mx = -1;
while (x > 0) {
mx = Math.max(mx, c[x]);
x -= x & -x;
}
return mx;
}
}
class Solution {
public int[] maximumSumQueries(int[] nums1, int[] nums2, int[][] queries) {
int n = nums1.length;
int[][] nums = new int[n][0];
for (int i = 0; i < n; ++i) {
nums[i] = new int[] {nums1[i], nums2[i]};
}
Arrays.sort(nums, (a, b) -> b[0] - a[0]);
Arrays.sort(nums2);
int m = queries.length;
Integer[] idx = new Integer[m];
for (int i = 0; i < m; ++i) {
idx[i] = i;
}
Arrays.sort(idx, (i, j) -> queries[j][0] - queries[i][0]);
int[] ans = new int[m];
int j = 0;
BinaryIndexedTree tree = new BinaryIndexedTree(n);
for (int i : idx) {
int x = queries[i][0], y = queries[i][1];
for (; j < n && nums[j][0] >= x; ++j) {
int k = n - Arrays.binarySearch(nums2, nums[j][1]);
tree.update(k, nums[j][0] + nums[j][1]);
}
int p = Arrays.binarySearch(nums2, y);
int k = p >= 0 ? n - p : n + p + 1;
ans[i] = tree.query(k);
}
return ans;
}
}
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42 | class Solution {
public int[] maximumSumQueries(int[] nums1, int[] nums2, int[][] q) {
int n = nums1.length, m = q.length;
int[][] a = new int[n][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
a[i][0] = nums1[i];
a[i][1] = nums2[i];
}
int[][] b = new int[m][3];
for (int i = 0; i < m; i++) {
b[i][0] = q[i][0];
b[i][1] = q[i][1];
b[i][2] = i;
}
Arrays.sort(a, (o1, o2) -> o1[0] - o2[0]);
Arrays.sort(b, (o1, o2) -> o1[0] - o2[0]);
TreeMap<Integer, Integer> map = new TreeMap<>();
int[] res = new int[m];
int max = -1;
for (int i = m - 1, j = n - 1; i >= 0; i--) {
int x = b[i][0], y = b[i][1], idx = b[i][2];
while (j >= 0 && a[j][0] >= x) {
if (max < a[j][1]) {
max = a[j][1];
Integer key = map.floorKey(a[j][1]);
while (key != null && map.get(key) <= a[j][0] + a[j][1]) {
map.remove(key);
key = map.floorKey(key);
}
map.put(max, a[j][0] + a[j][1]);
}
j--;
}
Integer key = map.ceilingKey(y);
if (key == null)
res[idx] = -1;
else
res[idx] = map.get(key);
}
return res;
}
}
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56 | class BinaryIndexedTree {
private:
int n;
vector<int> c;
public:
BinaryIndexedTree(int n) {
this->n = n;
c.resize(n + 1, -1);
}
void update(int x, int v) {
while (x <= n) {
c[x] = max(c[x], v);
x += x & -x;
}
}
int query(int x) {
int mx = -1;
while (x > 0) {
mx = max(mx, c[x]);
x -= x & -x;
}
return mx;
}
};
class Solution {
public:
vector<int> maximumSumQueries(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2, vector<vector<int>>& queries) {
vector<pair<int, int>> nums;
int n = nums1.size(), m = queries.size();
for (int i = 0; i < n; ++i) {
nums.emplace_back(-nums1[i], nums2[i]);
}
sort(nums.begin(), nums.end());
sort(nums2.begin(), nums2.end());
vector<int> idx(m);
iota(idx.begin(), idx.end(), 0);
sort(idx.begin(), idx.end(), [&](int i, int j) { return queries[j][0] < queries[i][0]; });
vector<int> ans(m);
int j = 0;
BinaryIndexedTree tree(n);
for (int i : idx) {
int x = queries[i][0], y = queries[i][1];
for (; j < n && -nums[j].first >= x; ++j) {
int k = nums2.end() - lower_bound(nums2.begin(), nums2.end(), nums[j].second);
tree.update(k, -nums[j].first + nums[j].second);
}
int k = nums2.end() - lower_bound(nums2.begin(), nums2.end(), y);
ans[i] = tree.query(k);
}
return ans;
}
};
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56 | type BinaryIndexedTree struct {
n int
c []int
}
func NewBinaryIndexedTree(n int) BinaryIndexedTree {
c := make([]int, n+1)
for i := range c {
c[i] = -1
}
return BinaryIndexedTree{n: n, c: c}
}
func (bit *BinaryIndexedTree) update(x, v int) {
for x <= bit.n {
bit.c[x] = max(bit.c[x], v)
x += x & -x
}
}
func (bit *BinaryIndexedTree) query(x int) int {
mx := -1
for x > 0 {
mx = max(mx, bit.c[x])
x -= x & -x
}
return mx
}
func maximumSumQueries(nums1 []int, nums2 []int, queries [][]int) []int {
n, m := len(nums1), len(queries)
nums := make([][2]int, n)
for i := range nums {
nums[i] = [2]int{nums1[i], nums2[i]}
}
sort.Slice(nums, func(i, j int) bool { return nums[j][0] < nums[i][0] })
sort.Ints(nums2)
idx := make([]int, m)
for i := range idx {
idx[i] = i
}
sort.Slice(idx, func(i, j int) bool { return queries[idx[j]][0] < queries[idx[i]][0] })
tree := NewBinaryIndexedTree(n)
ans := make([]int, m)
j := 0
for _, i := range idx {
x, y := queries[i][0], queries[i][1]
for ; j < n && nums[j][0] >= x; j++ {
k := n - sort.SearchInts(nums2, nums[j][1])
tree.update(k, nums[j][0]+nums[j][1])
}
k := n - sort.SearchInts(nums2, y)
ans[i] = tree.query(k)
}
return ans
}
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65 | class BinaryIndexedTree {
private n: number;
private c: number[];
constructor(n: number) {
this.n = n;
this.c = Array(n + 1).fill(-1);
}
update(x: number, v: number): void {
while (x <= this.n) {
this.c[x] = Math.max(this.c[x], v);
x += x & -x;
}
}
query(x: number): number {
let mx = -1;
while (x > 0) {
mx = Math.max(mx, this.c[x]);
x -= x & -x;
}
return mx;
}
}
function maximumSumQueries(nums1: number[], nums2: number[], queries: number[][]): number[] {
const n = nums1.length;
const m = queries.length;
const nums: [number, number][] = [];
for (let i = 0; i < n; ++i) {
nums.push([nums1[i], nums2[i]]);
}
nums.sort((a, b) => b[0] - a[0]);
nums2.sort((a, b) => a - b);
const idx: number[] = Array(m)
.fill(0)
.map((_, i) => i);
idx.sort((i, j) => queries[j][0] - queries[i][0]);
const ans: number[] = Array(m).fill(0);
let j = 0;
const search = (x: number) => {
let [l, r] = [0, n];
while (l < r) {
const mid = (l + r) >> 1;
if (nums2[mid] >= x) {
r = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return l;
};
const tree = new BinaryIndexedTree(n);
for (const i of idx) {
const [x, y] = queries[i];
for (; j < n && nums[j][0] >= x; ++j) {
const k = n - search(nums[j][1]);
tree.update(k, nums[j][0] + nums[j][1]);
}
const k = n - search(y);
ans[i] = tree.query(k);
}
return ans;
}
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