题目描述
给你一个整数 n ，统计并返回各位数字都不同的数字 x 的个数，其中 0 <= x < 10n 。
示例 1：
输入：n = 2
输出：91
解释：答案应为除去 11、22、33、44、55、66、77、88、99 外，在 0 ≤ x < 100 范围内的所有数字。
示例 2：
输入：n = 0
输出：1
提示：
解法
方法一：排列组合
当 $n=0$ 时，有 $0\le x \lt 1$，只有 $1$ 个数字，即 $0$。
当 $n=1$ 时，有 $0\le x \lt 10$，有 $10$ 个数字，即 $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$。
当 $n=2$ 时，有 $0\le x \lt 100$，那么 $x$ 的选择可以由两部分组成：只有一位数的数字和有两位数的数字。对于只有一位数的情况，可以由上述的边界情况计算；对于有两位数的情况，由于第一位数字不能为 $0$，所以第一位数字有 $9$ 种选择，第二位数字有 $9$ 种选择，所以有 $9 \times 9$ 种选择，即 $81$ 种选择。
更一般的情况，含有 $n$ 位数且各位数字都不同的数字 $x$ 的个数为 $9 \times A_{9}^{n-1}$。再加上含有小于 $n$ 位数且各位数字都不同的数字 $x$ 的个数，即为答案。
时间复杂度 $O(n)$。
方法二：状态压缩 + 数位 DP
这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中，满足条件的数的个数。条件与数的大小无关，而只与数的组成有关，因此可以使用数位 DP 的思想求解。数位 DP 中，数的大小对复杂度的影响很小。
对于区间 $[l,..r]$ 问题，我们一般会将其转化为 $[1,..r]$ 然后再减去 $[1,..l - 1]$ 的问题，即：
$$
ans = \sum_{i=1}^{r} ans_i - \sum_{i=1}^{l-1} ans_i
$$
不过对于本题而言，我们只需要求出区间 $[1,..10^n-1]$ 的值即可。
这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终的答案。
我们根据题目信息，设计函数 $dfs()$，对于本题，我们定义 $dfs(pos, mask, lead)$，答案为 $dfs(len, 0, true)$。
其中：
pos 表示数字的位数，从末位或者第一位开始，一般根据题目的数字构造性质来选择顺序。对于本题，我们选择从高位开始，因此，pos 的初始值为 len；mask 表示当前数字选取了哪些数字（状态压缩）；lead 表示当前数字是否含有前导零；
关于函数的实现细节，可以参考下面的代码。
时间复杂度 $O(n)$。
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17 | class Solution:
def countNumbersWithUniqueDigits(self, n: int) -> int:
@cache
def dfs(pos, mask, lead):
if pos <= 0:
return 1
ans = 0
for i in range(10):
if (mask >> i) & 1:
continue
if i == 0 and lead:
ans += dfs(pos - 1, mask, lead)
else:
ans += dfs(pos - 1, mask | (1 << i), False)
return ans
return dfs(n, 0, True)
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34 | class Solution {
private int[][] dp = new int[10][1 << 11];
public int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
for (var e : dp) {
Arrays.fill(e, -1);
}
return dfs(n, 0, true);
}
private int dfs(int pos, int mask, boolean lead) {
if (pos <= 0) {
return 1;
}
if (!lead && dp[pos][mask] != -1) {
return dp[pos][mask];
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i < 10; ++i) {
if (((mask >> i) & 1) == 1) {
continue;
}
if (i == 0 && lead) {
ans += dfs(pos - 1, mask, lead);
} else {
ans += dfs(pos - 1, mask | (1 << i), false);
}
}
if (!lead) {
dp[pos][mask] = ans;
}
return ans;
}
}
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31 | class Solution {
public:
int dp[10][1 << 11];
int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
memset(dp, -1, sizeof dp);
return dfs(n, 0, true);
}
int dfs(int pos, int mask, bool lead) {
if (pos <= 0) {
return 1;
}
if (!lead && dp[pos][mask] != -1) {
return dp[pos][mask];
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i < 10; ++i) {
if ((mask >> i) & 1) continue;
if (i == 0 && lead) {
ans += dfs(pos - 1, mask, lead);
} else {
ans += dfs(pos - 1, mask | 1 << i, false);
}
}
if (!lead) {
dp[pos][mask] = ans;
}
return ans;
}
};
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35 | func countNumbersWithUniqueDigits(n int) int {
dp := make([][]int, 10)
for i := range dp {
dp[i] = make([]int, 1<<11)
for j := range dp[i] {
dp[i][j] = -1
}
}
var dfs func(int, int, bool) int
dfs = func(pos, mask int, lead bool) int {
if pos <= 0 {
return 1
}
if !lead && dp[pos][mask] != -1 {
return dp[pos][mask]
}
ans := 0
for i := 0; i < 10; i++ {
if ((mask >> i) & 1) == 1 {
continue
}
if i == 0 && lead {
ans += dfs(pos-1, mask, lead)
} else {
ans += dfs(pos-1, mask|1<<i, false)
}
}
if !lead {
dp[pos][mask] = ans
}
return ans
}
return dfs(n, 0, true)
}
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