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486. 预测赢家

题目描述

给你一个整数数组 nums 。玩家 1 和玩家 2 基于这个数组设计了一个游戏。

玩家 1 和玩家 2 轮流进行自己的回合，玩家 1 先手。开始时，两个玩家的初始分值都是 0 。每一回合，玩家从数组的任意一端取一个数字（即，nums[0] 或 nums[nums.length - 1]），取到的数字将会从数组中移除（数组长度减 1 ）。玩家选中的数字将会加到他的得分上。当数组中没有剩余数字可取时，游戏结束。

如果玩家 1 能成为赢家，返回 true 。如果两个玩家得分相等，同样认为玩家 1 是游戏的赢家，也返回 true 。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

 

示例 1：

输入：nums = [1,5,2]
输出：false
解释：一开始，玩家 1 可以从 1 和 2 中进行选择。
如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。 
所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5 。
因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 false 。

示例 2：

输入：nums = [1,5,233,7]
输出：true
解释：玩家 1 一开始选择 1 。然后玩家 2 必须从 5 和 7 中进行选择。无论玩家 2 选择了哪个，玩家 1 都可以选择 233 。
最终，玩家 1（234 分）比玩家 2（12 分）获得更多的分数，所以返回 true，表示玩家 1 可以成为赢家。

 

提示：

  • 1 <= nums.length <= 20
  • 0 <= nums[i] <= 107

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i, j)$，表示从第 $i$ 个数到第 $j$ 个数，当前玩家与另一个玩家的得分之差的最大值。那么答案就是 $dfs(0, n - 1) \gt 0$。

函数 $dfs(i, j)$ 的计算方法如下：

  • 如果 $i \gt j$，说明当前没有数字了，所以当前玩家没有分数可以拿，差值为 $0$，即 $dfs(i, j) = 0$。
  • 否则，当前玩家有两种选择，如果选择第 $i$ 个数，那么当前玩家与另一个玩家的得分之差为 $nums[i] - dfs(i + 1, j)$；如果选择第 $j$ 个数，那么当前玩家与另一个玩家的得分之差为 $nums[j] - dfs(i, j - 1)$。当前玩家会选择两种情况中差值较大的情况，也就是说 $dfs(i, j) = \max(nums[i] - dfs(i + 1, j), nums[j] - dfs(i, j - 1))$。

最后，我们只需要判断 $dfs(0, n - 1) \gt 0$ 即可。

为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索的方法，用一个数组 $f$ 记录所有的 $dfs(i, j)$ 的值，当函数再次被调用到时，我们可以直接从 $f$ 中取出答案而不需要重新计算。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 是数组的长度。

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class Solution:
    def PredictTheWinner(self, nums: List[int]) -> bool:
        @cache
        def dfs(i: int, j: int) -> int:
            if i > j:
                return 0
            return max(nums[i] - dfs(i + 1, j), nums[j] - dfs(i, j - 1))

        return dfs(0, len(nums) - 1) >= 0

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class Solution {
    private int[] nums;
    private int[][] f;

    public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
        this.nums = nums;
        int n = nums.length;
        f = new int[n][n];
        return dfs(0, n - 1) >= 0;
    }

    private int dfs(int i, int j) {
        if (i > j) {
            return 0;
        }
        if (f[i][j] != 0) {
            return f[i][j];
        }
        return f[i][j] = Math.max(nums[i] - dfs(i + 1, j), nums[j] - dfs(i, j - 1));
    }
}

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class Solution {
public:
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int f[n][n];
        memset(f, 0, sizeof(f));
        function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) -> int {
            if (i > j) {
                return 0;
            }
            if (f[i][j]) {
                return f[i][j];
            }
            return f[i][j] = max(nums[i] - dfs(i + 1, j), nums[j] - dfs(i, j - 1));
        };
        return dfs(0, n - 1) >= 0;
    }
};

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func PredictTheWinner(nums []int) bool {
    n := len(nums)
    f := make([][]int, n)
    for i := range f {
        f[i] = make([]int, n)
    }
    var dfs func(i, j int) int
    dfs = func(i, j int) int {
        if i > j {
            return 0
        }
        if f[i][j] == 0 {
            f[i][j] = max(nums[i]-dfs(i+1, j), nums[j]-dfs(i, j-1))
        }
        return f[i][j]
    }
    return dfs(0, n-1) >= 0
}

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function PredictTheWinner(nums: number[]): boolean {
    const n = nums.length;
    const f: number[][] = new Array(n).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0));
    const dfs = (i: number, j: number): number => {
        if (i > j) {
            return 0;
        }
        if (f[i][j] === 0) {
            f[i][j] = Math.max(nums[i] - dfs(i + 1, j), nums[j] - dfs(i, j - 1));
        }
        return f[i][j];
    };
    return dfs(0, n - 1) >= 0;
}

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impl Solution {
    #[allow(dead_code)]
    pub fn predict_the_winner(nums: Vec<i32>) -> bool {
        let n = nums.len();
        let mut dp: Vec<Vec<i32>> = vec![vec![0; n]; n];

        // Initialize the dp vector
        for i in 0..n {
            dp[i][i] = nums[i];
        }

        // Begin the dp process
        for i in (0..n - 1).rev() {
            for j in i + 1..n {
                dp[i][j] = std::cmp::max(
                    // Take i-th num
                    nums[i] - dp[i + 1][j],
                    // Take j-th num
                    nums[j] - dp[i][j - 1]
                );
            }
        }

        dp[0][n - 1] >= 0
    }
}

方法二：动态规划

我们也可以使用动态规划的方法，定义 $f[i][j]$ 表示当前玩家在 $nums[i..j]$ 这些数字中能够获得的最大得分的差值。那么最后答案就是 $f[0][n - 1] \gt 0$。

初始时 $f[i][i]=nums[i]$，因为只有一个数，所以当前玩家只能拿取这个数，得分差值为 $nums[i]$。

考虑 $f[i][j]$，其中 $i \lt j$，有两种情况：

  • 如果当前玩家拿走了 $nums[i]$，那么剩下的数字为 $nums[i + 1..j]$，此时轮到另一个玩家进行游戏，所以 $f[i][j] = nums[i] - f[i + 1][j]$。
  • 如果当前玩家拿走了 $nums[j]$，那么剩下的数字为 $nums[i..j - 1]$，此时轮到另一个玩家进行游戏，所以 $f[i][j] = nums[j] - f[i][j - 1]$。

因此，最终的状态转移方程为 $f[i][j] = \max(nums[i] - f[i + 1][j], nums[j] - f[i][j - 1])$。

最后，我们只需要判断 $f[0][n - 1] \gt 0$ 即可。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 是数组的长度。

相似题目：

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class Solution:
    def PredictTheWinner(self, nums: List[int]) -> bool:
        n = len(nums)
        f = [[0] * n for _ in range(n)]
        for i, x in enumerate(nums):
            f[i][i] = x
        for i in range(n - 2, -1, -1):
            for j in range(i + 1, n):
                f[i][j] = max(nums[i] - f[i + 1][j], nums[j] - f[i][j - 1])
        return f[0][n - 1] >= 0

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class Solution {
    public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[][] f = new int[n][n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            f[i][i] = nums[i];
        }
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                f[i][j] = Math.max(nums[i] - f[i + 1][j], nums[j] - f[i][j - 1]);
            }
        }
        return f[0][n - 1] >= 0;
    }
}

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class Solution {
public:
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int f[n][n];
        memset(f, 0, sizeof(f));
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            f[i][i] = nums[i];
        }
        for (int i = n - 2; ~i; --i) {
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                f[i][j] = max(nums[i] - f[i + 1][j], nums[j] - f[i][j - 1]);
            }
        }
        return f[0][n - 1] >= 0;
    }
};

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func PredictTheWinner(nums []int) bool {
    n := len(nums)
    f := make([][]int, n)
    for i, x := range nums {
        f[i] = make([]int, n)
        f[i][i] = x
    }
    for i := n - 2; i >= 0; i-- {
        for j := i + 1; j < n; j++ {
            f[i][j] = max(nums[i]-f[i+1][j], nums[j]-f[i][j-1])
        }
    }
    return f[0][n-1] >= 0
}

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function PredictTheWinner(nums: number[]): boolean {
    const n = nums.length;
    const f: number[][] = new Array(n).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0));
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        f[i][i] = nums[i];
    }
    for (let i = n - 2; i >= 0; --i) {
        for (let j = i + 1; j < n; ++j) {
            f[i][j] = Math.max(nums[i] - f[i + 1][j], nums[j] - f[i][j - 1]);
        }
    }
    return f[0][n - 1] >= 0;
}

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