题目描述
给你一根长度为 n
的绳子,请把绳子剪成整数长度的 m
段(m、n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1]
。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1]
可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示:
注意:本题与主站 343 题相同:https://leetcode.cn/problems/integer-break/
解法
方法一:动态规划
我们定义 $dp[i]$ 表示正整数 $n$ 能获得的最大乘积,初始化 $dp[1] = 1$。答案即为 $dp[n]$。
状态转移方程为:
$$
dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] \times j, (i - j) \times j) \quad (j \in [0, i))
$$
时间复杂度 $O(n^2)$,空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为正整数 $n$。
Python3 Java C++ Go TypeScript Rust JavaScript C#
class Solution :
def cuttingRope ( self , n : int ) -> int :
dp = [ 1 ] * ( n + 1 )
for i in range ( 2 , n + 1 ):
for j in range ( 1 , i ):
dp [ i ] = max ( dp [ i ], dp [ i - j ] * j , ( i - j ) * j )
return dp [ n ]
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12 class Solution {
public int cuttingRope ( int n ) {
int [] dp = new int [ n + 1 ] ;
dp [ 1 ] = 1 ;
for ( int i = 2 ; i <= n ; ++ i ) {
for ( int j = 1 ; j < i ; ++ j ) {
dp [ i ] = Math . max ( Math . max ( dp [ i ] , dp [ i - j ] * j ), ( i - j ) * j );
}
}
return dp [ n ] ;
}
}
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13 class Solution {
public :
int cuttingRope ( int n ) {
vector < int > dp ( n + 1 );
dp [ 1 ] = 1 ;
for ( int i = 2 ; i <= n ; ++ i ) {
for ( int j = 1 ; j < i ; ++ j ) {
dp [ i ] = max ( max ( dp [ i ], dp [ i - j ] * j ), ( i - j ) * j );
}
}
return dp [ n ];
}
};
func cuttingRope ( n int ) int {
dp := make ([] int , n + 1 )
dp [ 1 ] = 1
for i := 2 ; i <= n ; i ++ {
for j := 1 ; j < i ; j ++ {
dp [ i ] = max ( max ( dp [ i ], dp [ i - j ] * j ), ( i - j ) * j )
}
}
return dp [ n ]
}
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13 function cuttingRope ( n : number ) : number {
if ( n < 4 ) {
return n - 1 ;
}
const m = Math . floor ( n / 3 );
if ( n % 3 == 0 ) {
return 3 ** m ;
}
if ( n % 3 == 1 ) {
return 3 ** ( m - 1 ) * 4 ;
}
return 3 ** m * 2 ;
}
impl Solution {
pub fn cutting_rope ( n : i32 ) -> i32 {
if n < 4 {
return n - 1 ;
}
let count = ( n - 2 ) / 3 ;
( 3 i32 ). pow ( count as u32 ) * ( n - count * 3 )
}
}
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17 /**
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var cuttingRope = function ( n ) {
if ( n < 4 ) {
return n - 1 ;
}
const m = Math . floor ( n / 3 );
if ( n % 3 == 0 ) {
return 3 ** m ;
}
if ( n % 3 == 1 ) {
return 3 ** ( m - 1 ) * 4 ;
}
return 3 ** m * 2 ;
};
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14 public class Solution {
public int CuttingRope ( int n ) {
if ( n < 4 ) {
return n - 1 ;
}
if ( n % 3 == 0 ) {
return ( int ) Math . Pow ( 3 , n / 3 );
}
if ( n % 3 == 1 ) {
return ( int ) Math . Pow ( 3 , n / 3 - 1 ) * 4 ;
}
return ( int ) Math . Pow ( 3 , n / 3 ) * 2 ;
}
}
方法二:数学
当 $n \lt 4$,此时 $n$ 不能拆分成至少两个正整数的和,因此 $n - 1$ 是最大乘积。当 $n \ge 4$ 时,我们尽可能多地拆分 $3$,当剩下的最后一段为 $4$ 时,我们将其拆分为 $2 + 2$,这样乘积最大。
时间复杂度 $O(1)$,空间复杂度 $O(1)$。
Python3 Java C++ Go
class Solution :
def cuttingRope ( self , n : int ) -> int :
if n < 4 :
return n - 1
if n % 3 == 0 :
return pow ( 3 , n // 3 )
if n % 3 == 1 :
return pow ( 3 , n // 3 - 1 ) * 4
return pow ( 3 , n // 3 ) * 2
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14 class Solution {
public int cuttingRope ( int n ) {
if ( n < 4 ) {
return n - 1 ;
}
if ( n % 3 == 0 ) {
return ( int ) Math . pow ( 3 , n / 3 );
}
if ( n % 3 == 1 ) {
return ( int ) Math . pow ( 3 , n / 3 - 1 ) * 4 ;
}
return ( int ) Math . pow ( 3 , n / 3 ) * 2 ;
}
}
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15 class Solution {
public :
int cuttingRope ( int n ) {
if ( n < 4 ) {
return n - 1 ;
}
if ( n % 3 == 0 ) {
return pow ( 3 , n / 3 );
}
if ( n % 3 == 1 ) {
return pow ( 3 , n / 3 - 1 ) * 4 ;
}
return pow ( 3 , n / 3 ) * 2 ;
}
};
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12 func cuttingRope ( n int ) int {
if n < 4 {
return n - 1
}
if n % 3 == 0 {
return int ( math . Pow ( 3 , float64 ( n / 3 )))
}
if n % 3 == 1 {
return int ( math . Pow ( 3 , float64 ( n / 3 - 1 ))) * 4
}
return int ( math . Pow ( 3 , float64 ( n / 3 ))) * 2
}