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902. 最大为 N 的数字组合

题目描述

给定一个按 非递减顺序 排列的数字数组 digits 。你可以用任意次数 digits[i] 来写的数字。例如，如果 digits = ['1','3','5']，我们可以写数字，如 '13', '551', 和 '1351315'。

返回 可以生成的小于或等于给定整数 n 的正整数的个数 。

 

示例 1：

输入：digits = ["1","3","5","7"], n = 100
输出：20
解释：
可写出的 20 个数字是：
1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.

示例 2：

输入：digits = ["1","4","9"], n = 1000000000
输出：29523
解释：
我们可以写 3 个一位数字，9 个两位数字，27 个三位数字，
81 个四位数字，243 个五位数字，729 个六位数字，
2187 个七位数字，6561 个八位数字和 19683 个九位数字。
总共，可以使用D中的数字写出 29523 个整数。

示例 3:

输入：digits = ["7"], n = 8
输出：1

 

提示：

  • 1 <= digits.length <= 9
  • digits[i].length == 1
  • digits[i] 是从 '1' 到 '9' 的数
  • digits 中的所有值都 不同 
  • digits 按 非递减顺序 排列
  • 1 <= n <= 109

解法

方法一：数位 DP

这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中，由 digits 中的数字生成的正整数的个数。个数与数的位数以及每一位上的数字有关。我们可以用数位 DP 的思路来解决这道题。数位 DP 中，数的大小对复杂度的影响很小。

对于区间 $[l,..r]$ 问题，我们一般会将其转化为 $[1,..r]$ 然后再减去 $[1,..l - 1]$ 的问题，即：

$$ ans = \sum_{i=1}^{r} ans_i - \sum_{i=1}^{l-1} ans_i $$

不过对于本题而言，我们只需要求出区间 $[1,..r]$ 的值即可。

这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终的答案。

基本步骤如下：

  1. 将数字 $n$ 转为 int 数组 $a$，其中 $a[1]$ 为最低位，而 $a[len]$ 为最高位；
  2. 根据题目信息，设计函数 $dfs()$，对于本题，我们定义 $dfs(pos, lead, limit)$，答案为 $dfs(len, 1, true)$。

其中：

  • pos 表示数字的位数，从末位或者第一位开始，一般根据题目的数字构造性质来选择顺序。对于本题，我们选择从高位开始，因此，pos 的初始值为 len；
  • lead 表示当前数字中是否包含前导零，如果包含，则为 1，否则为 0；初始化为 1；
  • limit 表示可填的数字的限制，如果无限制，那么可以选择 $[0,1,..9]$，否则，只能选择 $[0,..a[pos]]$。如果 limit 为 true 且已经取到了能取到的最大值，那么下一个 limit 同样为 true；如果 limit 为 true 但是还没有取到最大值，或者 limit 为 false，那么下一个 limit 为 false。

关于函数的实现细节，可以参考下面的代码。

时间复杂度 $O(\log n)$。

相似题目：

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class Solution:
    def atMostNGivenDigitSet(self, digits: List[str], n: int) -> int:
        @cache
        def dfs(pos, lead, limit):
            if pos <= 0:
                return lead == False
            up = a[pos] if limit else 9
            ans = 0
            for i in range(up + 1):
                if i == 0 and lead:
                    ans += dfs(pos - 1, lead, limit and i == up)
                elif i in s:
                    ans += dfs(pos - 1, False, limit and i == up)
            return ans

        l = 0
        a = [0] * 12
        s = {int(d) for d in digits}
        while n:
            l += 1
            a[l] = n % 10
            n //= 10
        return dfs(l, True, True)

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class Solution {
    private int[] a = new int[12];
    private int[][] dp = new int[12][2];
    private Set<Integer> s = new HashSet<>();

    public int atMostNGivenDigitSet(String[] digits, int n) {
        for (var e : dp) {
            Arrays.fill(e, -1);
        }
        for (String d : digits) {
            s.add(Integer.parseInt(d));
        }
        int len = 0;
        while (n > 0) {
            a[++len] = n % 10;
            n /= 10;
        }
        return dfs(len, 1, true);
    }

    private int dfs(int pos, int lead, boolean limit) {
        if (pos <= 0) {
            return lead ^ 1;
        }
        if (!limit && lead != 1 && dp[pos][lead] != -1) {
            return dp[pos][lead];
        }
        int ans = 0;
        int up = limit ? a[pos] : 9;
        for (int i = 0; i <= up; ++i) {
            if (i == 0 && lead == 1) {
                ans += dfs(pos - 1, lead, limit && i == up);
            } else if (s.contains(i)) {
                ans += dfs(pos - 1, 0, limit && i == up);
            }
        }
        if (!limit && lead == 0) {
            dp[pos][lead] = ans;
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    int a[12];
    int dp[12][2];
    unordered_set<int> s;

    int atMostNGivenDigitSet(vector<string>& digits, int n) {
        memset(dp, -1, sizeof dp);
        for (auto& d : digits) {
            s.insert(stoi(d));
        }
        int len = 0;
        while (n) {
            a[++len] = n % 10;
            n /= 10;
        }
        return dfs(len, 1, true);
    }

    int dfs(int pos, int lead, bool limit) {
        if (pos <= 0) {
            return lead ^ 1;
        }
        if (!limit && !lead && dp[pos][lead] != -1) {
            return dp[pos][lead];
        }
        int ans = 0;
        int up = limit ? a[pos] : 9;
        for (int i = 0; i <= up; ++i) {
            if (i == 0 && lead) {
                ans += dfs(pos - 1, lead, limit && i == up);
            } else if (s.count(i)) {
                ans += dfs(pos - 1, 0, limit && i == up);
            }
        }
        if (!limit && !lead) {
            dp[pos][lead] = ans;
        }
        return ans;
    }
};

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func atMostNGivenDigitSet(digits []string, n int) int {
    s := map[int]bool{}
    for _, d := range digits {
        i, _ := strconv.Atoi(d)
        s[i] = true
    }
    a := make([]int, 12)
    dp := make([][2]int, 12)
    for i := range a {
        dp[i] = [2]int{-1, -1}
    }
    l := 0
    for n > 0 {
        l++
        a[l] = n % 10
        n /= 10
    }
    var dfs func(int, int, bool) int
    dfs = func(pos, lead int, limit bool) int {
        if pos <= 0 {
            return lead ^ 1
        }
        if !limit && lead == 0 && dp[pos][lead] != -1 {
            return dp[pos][lead]
        }
        up := 9
        if limit {
            up = a[pos]
        }
        ans := 0
        for i := 0; i <= up; i++ {
            if i == 0 && lead == 1 {
                ans += dfs(pos-1, lead, limit && i == up)
            } else if s[i] {
                ans += dfs(pos-1, 0, limit && i == up)
            }
        }
        if !limit {
            dp[pos][lead] = ans
        }
        return ans
    }
    return dfs(l, 1, true)
}

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