1227. 飞机座位分配概率

题目描述

有 n 位乘客即将登机，飞机正好有 n 个座位。第一位乘客的票丢了，他随便选了一个座位坐下。

剩下的乘客将会：

如果他们自己的座位还空着，就坐到自己的座位上，
当他们自己的座位被占用时，随机选择其他座位

第 n 位乘客坐在自己的座位上的概率是多少？

示例 1：

输入：n = 1
输出：1.00000
解释：第一个人只会坐在自己的位置上。

示例 2：

输入: n = 2
输出: 0.50000
解释：在第一个人选好座位坐下后，第二个人坐在自己的座位上的概率是 0.5。

提示：

1 <= n <= 10^5

解法

方法一：数学

用 $f(n)$ 表示当有 $n$ 位乘客登机时，第 $n$ 位乘客坐在自己的座位上的概率。从最简单的情况开始考虑：

当 $n=1$ 时，只有 $1$ 位乘客和 $1$ 个座位，因此第 $1$ 位乘客只能坐在第 $1$ 个座位上，$f(1)=1$；
当 $n=2$ 时，有 $2$ 个座位，每个座位有 $0.5$ 的概率被第 $1$ 位乘客选中，当第 $1$ 位乘客选中座位之后，第 $2$ 位乘客只能选择剩下的座位，因此第 $2$ 位乘客有 $0.5$ 的概率坐在自己的座位上，$f(2)=0.5$。

当 $n>2$ 时，如何计算 $f(n)$ 的值？考虑第 $1$ 位乘客选择的座位，有以下三种情况。

第 $1$ 位乘客有 $\frac{1}{n}$ 的概率选择第 $1$ 个座位，则所有乘客都可以坐在自己的座位上，此时第 $n$ 位乘客坐在自己的座位上的概率是 $1.0$。
第 $1$ 位乘客有 $\frac{1}{n}$ 的概率选择第 $n$ 个座位，则第 $2$ 位乘客到第 $n-1$ 位乘客都可以坐在自己的座位上，第 $n$ 位乘客只能坐在第 $1$ 个座位上，此时第 $n$ 位乘客坐在自己的座位上的概率是 $0.0$。
第 $1$ 位乘客有 $\frac{n-2}{n}$ 的概率选择其余的座位，每个座位被选中的概率是 $\frac{1}{n}$。假设第 $1$ 位乘客选择第 $i$ 个座位，其中 $2 \le i \le n-1$，则第 $2$ 位乘客到第 $i-1$ 位乘客都可以坐在自己的座位上，第 $i$ 位乘客到第 $n$ 位乘客的座位不确定，第 $i$ 位乘客会在剩下的 $n-(i-1)=n-i+1$ 个座位中随机选择（包括第 $1$ 个座位和第 $i+1$ 个座位到第 $n$ 个座位）。由于此时剩下的乘客数和座位数都是 $n-i+1$，有 $1$ 位乘客会随机选择座位，因此问题规模从 $n$ 减小至 $n-i+1$。

结合上述三种情况，可以得到 $f(n)$ 的递推式：

$$ \begin{aligned} f(n) &= \frac{1}{n} \times 1.0 + \frac{1}{n} \times 0.0 + \frac{1}{n} \times \sum_{i=2}^{n-1} f(n-i+1) \ &= \frac{1}{n}(1.0+\sum_{i=2}^{n-1} f(n-i+1)) \end{aligned} $$

上述递推式中，$i$ 的取值个数有 $n-2$ 个，由于 $i$ 的取值个数必须是非负整数，因此只有当 $n-2 \ge 0$ 即 $n \ge 2$ 时，上述递推式才成立。

如果直接利用上述递推式计算 $f(n)$ 的值，则时间复杂度为 $O(n^2)$，无法通过全部测试用例，因此需要优化。

将上述递推式中的 $n$ 换成 $n-1$，可以得到递推式：

$$ f(n-1) = \frac{1}{n-1}(1.0+\sum_{i=2}^{n-2} f(n-i)) $$

上述递推式中，$i$ 的取值个数有 $n-3$ 个，只有当 $n-3 \ge 0$ 即 $n \ge 3$ 时，上述递推式才成立。

当 $n \ge 3$ 时，上述两个递推式可以写成如下形式：

$$ \begin{aligned} n \times f(n) &= 1.0+\sum_{i=2}^{n-1} f(n-i+1) \ (n-1) \times f(n-1) &= 1.0+\sum_{i=2}^{n-2} f(n-i) \end{aligned} $$

将上述两式相减：

$$ \begin{aligned} &_~~~ n \times f(n) - (n-1) \times f(n-1) \ &= (1.0+\sum_{i=2}^{n-1} f(n-i+1)) - (1.0+\sum_{i=2}^{n-2} f(n-i)) \ &= \sum_{i=2}^{n-1} f(n-i+1) - \sum_{i=2}^{n-2} f(n-i) \ &= f(2)+f(3)+...+f(n-1) - (f(2)+f(3)+...+f(n-2)) \ &= f(n-1) \end{aligned} $$

整理后得到简化的递推式：

$$ \begin{aligned} n \times f(n) &= n \times f(n-1) \ f(n) &= f(n-1) \end{aligned} $$

由于已知 $f(1)=1$ 和 $f(2)=0.5$，因此当 $n \ge 3$ 时，根据 $f(n) = f(n-1)$ 可知，对任意正整数 $n$ 都有 $f(n)=0.5$。又由于 $f(2)=0.5$，因此当 $n \ge 2$ 时，对任意正整数 $n$ 都有 $f(n)=0.5$。

由此可以得到 $f(n)$ 的结果：

$$ f(n) = \begin{cases} 1.0, & n = 1 \ 0.5, & n \ge 2 \end{cases} $$

Python3JavaC++Go

class Solution:
    def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float:
        return 1 if n == 1 else 0.5

class Solution {
    public double nthPersonGetsNthSeat(int n) {
        return n == 1 ? 1 : .5;
    }
}

class Solution {
public:
    double nthPersonGetsNthSeat(int n) {
        return n == 1 ? 1 : .5;
    }
};

func nthPersonGetsNthSeat(n int) float64 {
    if n == 1 {
        return 1
    }
    return .5
}

1227. 飞机座位分配概率

题目描述

解法

方法一：数学

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