题目描述
给定一个按 非递减顺序 排列的数字数组 digits 。你可以用任意次数 digits[i] 来写的数字。例如，如果 digits = ['1','3','5']，我们可以写数字，如 '13', '551', 和 '1351315'。
返回 可以生成的小于或等于给定整数 n 的正整数的个数 。
示例 1：
输入：digits = ["1","3","5","7"], n = 100
输出：20
解释：
可写出的 20 个数字是：
1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.
示例 2：
输入：digits = ["1","4","9"], n = 1000000000
输出：29523
解释：
我们可以写 3 个一位数字，9 个两位数字，27 个三位数字，
81 个四位数字，243 个五位数字，729 个六位数字，
2187 个七位数字，6561 个八位数字和 19683 个九位数字。
总共，可以使用D中的数字写出 29523 个整数。
示例 3:
输入：digits = ["7"], n = 8
输出：1
提示：
1 <= digits.length <= 9digits[i].length == 1digits[i] 是从 '1' 到 '9' 的数digits 中的所有值都 不同 digits 按 非递减顺序 排列1 <= n <= 109
解法
方法一：数位 DP
这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中，由 digits 中的数字生成的正整数的个数。个数与数的位数以及每一位上的数字有关。我们可以用数位 DP 的思路来解决这道题。数位 DP 中，数的大小对复杂度的影响很小。
对于区间 $[l,..r]$ 问题，我们一般会将其转化为 $[1,..r]$ 然后再减去 $[1,..l - 1]$ 的问题，即：
$$
ans = \sum_{i=1}^{r} ans_i - \sum_{i=1}^{l-1} ans_i
$$
不过对于本题而言，我们只需要求出区间 $[1,..r]$ 的值即可。
这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终的答案。
基本步骤如下：
我们将数字 $n$ 转化为字符串 $s$，记字符串 $s$ 的长度为 $m$。
接下来，我们设计一个函数 $\textit{dfs}(i, \textit{lead}, \textit{limit})$，表示当前处理到字符串的第 $i$ 位，到最后一位的方案数。其中：
- 数字 $i$ 表示当前处理到字符串 $s$ 的第 $i$ 位；
- 布尔值 $\textit{lead}$ 表示是否只包含前导零；
- 布尔值 $\textit{limit}$ 表示当前位置是否受到上界的限制。
函数的执行过程如下：
如果 $i$ 大于等于 $m$，说明我们已经处理完了所有的位数，此时如果 $\textit{lead}$ 为真，说明当前的数字是前导零，我们应当返回 $0$；否则，我们应当返回 $1$。
否则，我们计算当前位置的上界 $\textit{up}$，如果 $\textit{limit}$ 为真，则 $up$ 为 $s[i]$ 对应的数字，否则 $up$ 为 $9$。
然后，我们在 $[0, \textit{up}]$ 的范围内枚举当前位置的数字 $j$，如果 $j$ 为 $0$ 且 $\textit{lead}$ 为真，我们递归计算 $\textit{dfs}(i + 1, \text{true}, \textit{limit} \wedge j = \textit{up})$；否则，如果 $j$ 在 $\textit{digits}$ 中，我们递归计算 $\textit{dfs}(i + 1, \text{false}, \textit{limit} \wedge j = \textit{up})$。累加所有的结果即为答案。
最后，我们返回 $\textit{dfs}(0, \text{true}, \text{true})$ 即可。
时间复杂度 $O(\log n \times D)$，空间复杂度 $O(\log n)$。其中 $D = 10$。
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19 | class Solution:
def atMostNGivenDigitSet(self, digits: List[str], n: int) -> int:
@cache
def dfs(i: int, lead: int, limit: bool) -> int:
if i >= len(s):
return lead ^ 1
up = int(s[i]) if limit else 9
ans = 0
for j in range(up + 1):
if j == 0 and lead:
ans += dfs(i + 1, 1, limit and j == up)
elif j in nums:
ans += dfs(i + 1, 0, limit and j == up)
return ans
s = str(n)
nums = {int(x) for x in digits}
return dfs(0, 1, True)
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36 | class Solution {
private Set<Integer> nums = new HashSet<>();
private char[] s;
private Integer[] f;
public int atMostNGivenDigitSet(String[] digits, int n) {
s = String.valueOf(n).toCharArray();
f = new Integer[s.length];
for (var x : digits) {
nums.add(Integer.parseInt(x));
}
return dfs(0, true, true);
}
private int dfs(int i, boolean lead, boolean limit) {
if (i >= s.length) {
return lead ? 0 : 1;
}
if (!lead && !limit && f[i] != null) {
return f[i];
}
int up = limit ? s[i] - '0' : 9;
int ans = 0;
for (int j = 0; j <= up; ++j) {
if (j == 0 && lead) {
ans += dfs(i + 1, true, limit && j == up);
} else if (nums.contains(j)) {
ans += dfs(i + 1, false, limit && j == up);
}
}
if (!lead && !limit) {
f[i] = ans;
}
return ans;
}
}
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35 | class Solution {
public:
int atMostNGivenDigitSet(vector<string>& digits, int n) {
string s = to_string(n);
unordered_set<int> nums;
for (auto& x : digits) {
nums.insert(stoi(x));
}
int m = s.size();
int f[m];
memset(f, -1, sizeof(f));
auto dfs = [&](this auto&& dfs, int i, bool lead, bool limit) -> int {
if (i >= m) {
return lead ? 0 : 1;
}
if (!lead && !limit && f[i] != -1) {
return f[i];
}
int up = limit ? s[i] - '0' : 9;
int ans = 0;
for (int j = 0; j <= up; ++j) {
if (j == 0 && lead) {
ans += dfs(i + 1, true, limit && j == up);
} else if (nums.count(j)) {
ans += dfs(i + 1, false, limit && j == up);
}
}
if (!lead && !limit) {
f[i] = ans;
}
return ans;
};
return dfs(0, true, true);
}
};
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42 | func atMostNGivenDigitSet(digits []string, n int) int {
s := strconv.Itoa(n)
m := len(s)
f := make([]int, m)
for i := range f {
f[i] = -1
}
nums := map[int]bool{}
for _, d := range digits {
x, _ := strconv.Atoi(d)
nums[x] = true
}
var dfs func(i int, lead, limit bool) int
dfs = func(i int, lead, limit bool) int {
if i >= m {
if lead {
return 0
}
return 1
}
if !lead && !limit && f[i] != -1 {
return f[i]
}
up := 9
if limit {
up = int(s[i] - '0')
}
ans := 0
for j := 0; j <= up; j++ {
if j == 0 && lead {
ans += dfs(i+1, true, limit && j == up)
} else if nums[j] {
ans += dfs(i+1, false, limit && j == up)
}
}
if !lead && !limit {
f[i] = ans
}
return ans
}
return dfs(0, true, true)
}
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28 | function atMostNGivenDigitSet(digits: string[], n: number): number {
const s = n.toString();
const m = s.length;
const f: number[] = Array(m).fill(-1);
const nums = new Set<number>(digits.map(d => parseInt(d)));
const dfs = (i: number, lead: boolean, limit: boolean): number => {
if (i >= m) {
return lead ? 0 : 1;
}
if (!lead && !limit && f[i] !== -1) {
return f[i];
}
const up = limit ? +s[i] : 9;
let ans = 0;
for (let j = 0; j <= up; ++j) {
if (!j && lead) {
ans += dfs(i + 1, true, limit && j === up);
} else if (nums.has(j)) {
ans += dfs(i + 1, false, limit && j === up);
}
}
if (!lead && !limit) {
f[i] = ans;
}
return ans;
};
return dfs(0, true, true);
}
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