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829. 连续整数求和

题目描述

给定一个正整数 n，返回 连续正整数满足所有数字之和为 n 的组数 。 

 

示例 1:

输入: n = 5
输出: 2
解释: 5 = 2 + 3，共有两组连续整数([5],[2,3])求和后为 5。

示例 2:

输入: n = 9
输出: 3
解释: 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4

示例 3:

输入: n = 15
输出: 4
解释: 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

 

提示:

  • 1 <= n <= 109​​​​​​​

解法

方法一：数学推导

连续正整数构成一个公差 \(d = 1\) 的等差数列。我们假设等差数列的第一项为 \(a\)，项数为 \(k\)，那么 \(n = (a + a + k - 1) \times k / 2\)，即 \(n \times 2 = (a \times 2 + k - 1) \times k\)。这里我们可以得出 \(k\) 一定能整除 \(n \times 2\)，并且 \((n \times 2) / k - k + 1\) 一定是偶数。

由于 \(a \geq 1\)，所以 \(n \times 2 = (a \times 2 + k - 1) \times k \geq k \times (k + 1)\)。

综上，我们可以得出：

  1. \(k\) 一定能整除 \(n \times 2\)；
  2. \(k \times (k + 1) \leq n \times 2\)；
  3. \((n \times 2) / k - k + 1\) 一定是偶数。

我们从 \(k = 1\) 开始枚举，当 \(k \times (k + 1) > n \times 2\) 时，我们可以结束枚举。在枚举的过程中，我们判断 \(k\) 是否能整除 \(n \times 2\)，并且 \((n \times 2) / k - k + 1\) 是否是偶数，如果是则满足条件，答案加一。

枚举结束后，返回答案即可。

时间复杂度 \(O(\sqrt{n})\)，其中 \(n\) 为给定的正整数。空间复杂度 \(O(1)\)。

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class Solution:
    def consecutiveNumbersSum(self, n: int) -> int:
        n <<= 1
        ans, k = 0, 1
        while k * (k + 1) <= n:
            if n % k == 0 and (n // k + 1 - k) % 2 == 0:
                ans += 1
            k += 1
        return ans

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class Solution {

    public int consecutiveNumbersSum(int n) {
        n <<= 1;
        int ans = 0;
        for (int k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
            if (n % k == 0 && (n / k + 1 - k) % 2 == 0) {
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    int consecutiveNumbersSum(int n) {
        n <<= 1;
        int ans = 0;
        for (int k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
            if (n % k == 0 && (n / k + 1 - k) % 2 == 0) {
                ++ans;
            }
        }
        return ans;
    }
};

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func consecutiveNumbersSum(n int) int {
    n <<= 1
    ans := 0
    for k := 1; k*(k+1) <= n; k++ {
        if n%k == 0 && (n/k+1-k)%2 == 0 {
            ans++
        }
    }
    return ans
}

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function consecutiveNumbersSum(n: number): number {
    let ans = 0;
    n <<= 1;
    for (let k = 1; k * (k + 1) <= n; ++k) {
        if (n % k === 0 && (Math.floor(n / k) + 1 - k) % 2 === 0) {
            ++ans;
        }
    }
    return ans;
}

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