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970. 强整数

题目描述

给定三个整数 x 、 y 和 bound ，返回 值小于或等于 bound 的所有 强整数 组成的列表 。

如果某一整数可以表示为 xi + yj ，其中整数 i >= 0 且 j >= 0，那么我们认为该整数是一个 强整数 。

你可以按 任何顺序 返回答案。在你的回答中，每个值 最多 出现一次。

 

示例 1：

输入：x = 2, y = 3, bound = 10
输出：[2,3,4,5,7,9,10]
解释： 
2 = 20 + 30
3 = 21 + 30
4 = 20 + 31
5 = 21 + 31
7 = 22 + 31
9 = 23 + 30
10 = 20 + 32

示例 2：

输入：x = 3, y = 5, bound = 15
输出：[2,4,6,8,10,14]

 

提示：

  • 1 <= x, y <= 100
  • 0 <= bound <= 106

解法

方法一：哈希表 + 枚举

根据题目描述，一个强整数可以表示成 \(x^i + y^j\)，其中 \(i \geq 0\), \(j \geq 0\)。

题目需要我们找出所有不超过 \(bound\) 的强整数，我们注意到 \(bound\) 的取值范围不超过 \(10^6\)，而 \(2^{20} = 1048576 \gt 10^6\)。因此，如果 \(x \geq 2\)，那么 \(i\) 最大不超过 \(20\)，才有可能使得 \(x^i + y^j \leq bound\) 成立。同理，如果 \(y \geq 2\)，那么 \(j\) 最大不超过 \(20\)。

因此我们可以使用双重循环，枚举所有可能的 \(x^i\) 和 \(y^j\)，分别记为 \(a\) 和 \(b\)，并保证 \(a + b \leq bound\)，此时 \(a + b\) 即为一个强整数。我们使用哈希表存储所有满足条件的强整数，最后将哈希表中的所有元素转换成答案列表返回即可。

注意，如果 \(x=1\) 或者 \(y=1\)，那么 \(a\) 或者 \(b\) 的值恒等于 \(1\)，对应的循环只需要执行一次即可退出。

时间复杂度 \(O(\log^2 bound)\)，空间复杂度 \(O(\log^2 bound)\)。

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class Solution:
    def powerfulIntegers(self, x: int, y: int, bound: int) -> List[int]:
        ans = set()
        a = 1
        while a <= bound:
            b = 1
            while a + b <= bound:
                ans.add(a + b)
                b *= y
                if y == 1:
                    break
            if x == 1:
                break
            a *= x
        return list(ans)

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class Solution {
    public List<Integer> powerfulIntegers(int x, int y, int bound) {
        Set<Integer> ans = new HashSet<>();
        for (int a = 1; a <= bound; a *= x) {
            for (int b = 1; a + b <= bound; b *= y) {
                ans.add(a + b);
                if (y == 1) {
                    break;
                }
            }
            if (x == 1) {
                break;
            }
        }
        return new ArrayList<>(ans);
    }
}

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class Solution {
public:
    vector<int> powerfulIntegers(int x, int y, int bound) {
        unordered_set<int> ans;
        for (int a = 1; a <= bound; a *= x) {
            for (int b = 1; a + b <= bound; b *= y) {
                ans.insert(a + b);
                if (y == 1) {
                    break;
                }
            }
            if (x == 1) {
                break;
            }
        }
        return vector<int>(ans.begin(), ans.end());
    }
};

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func powerfulIntegers(x int, y int, bound int) (ans []int) {
    s := map[int]struct{}{}
    for a := 1; a <= bound; a *= x {
        for b := 1; a+b <= bound; b *= y {
            s[a+b] = struct{}{}
            if y == 1 {
                break
            }
        }
        if x == 1 {
            break
        }
    }
    for x := range s {
        ans = append(ans, x)
    }
    return ans
}

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function powerfulIntegers(x: number, y: number, bound: number): number[] {
    const ans = new Set<number>();
    for (let a = 1; a <= bound; a *= x) {
        for (let b = 1; a + b <= bound; b *= y) {
            ans.add(a + b);
            if (y === 1) {
                break;
            }
        }
        if (x === 1) {
            break;
        }
    }
    return Array.from(ans);
}

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/**
 * @param {number} x
 * @param {number} y
 * @param {number} bound
 * @return {number[]}
 */
var powerfulIntegers = function (x, y, bound) {
    const ans = new Set();
    for (let a = 1; a <= bound; a *= x) {
        for (let b = 1; a + b <= bound; b *= y) {
            ans.add(a + b);
            if (y === 1) {
                break;
            }
        }
        if (x === 1) {
            break;
        }
    }
    return [...ans];
};

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