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928. 尽量减少恶意软件的传播 II

题目描述

给定一个由 n 个节点组成的网络，用 n x n 个邻接矩阵 graph 表示。在节点网络中，只有当 graph[i][j] = 1 时，节点 i 能够直接连接到另一个节点 j。

一些节点 initial 最初被恶意软件感染。只要两个节点直接连接，且其中至少一个节点受到恶意软件的感染，那么两个节点都将被恶意软件感染。这种恶意软件的传播将继续，直到没有更多的节点可以被这种方式感染。

假设 M(initial) 是在恶意软件停止传播之后，整个网络中感染恶意软件的最终节点数。

我们可以从 initial 中 删除一个节点，并完全移除该节点以及从该节点到任何其他节点的任何连接。

请返回移除后能够使 M(initial) 最小化的节点。如果有多个节点满足条件，返回索引 最小的节点 。

 

示例 1：

输入：graph = [[1,1,0],[1,1,0],[0,0,1]], initial = [0,1]
输出：0

示例 2：

输入：graph = [[1,1,0],[1,1,1],[0,1,1]], initial = [0,1]
输出：1

示例 3：

输入：graph = [[1,1,0,0],[1,1,1,0],[0,1,1,1],[0,0,1,1]], initial = [0,1]
输出：1

 

提示：

  • n == graph.length
  • n == graph[i].length
  • 2 <= n <= 300
  • graph[i][j] 是 0 或 1.
  • graph[i][j] == graph[j][i]
  • graph[i][i] == 1
  • 1 <= initial.length < n
  • 0 <= initial[i] <= n - 1
  •  initial 中每个整数都不同

解法

方法一：并查集

我们可以使用并查集，将所有不在 $initial$ 中的节点，并且满足 $graph[i][j] = 1$ 的节点 $(i, j)$ 进行合并。

接下来，我们创建一个哈希表 $g$，其中 $g[i]$ 表示所有与节点 $i$ 相连的连通分量的根节点。我们还需要一个计数器 $cnt$，用来统计每个根节点被多少个初始节点感染。

对于每个初始时被感染的节点 $i$，我们遍历所有与节点 $i$ 相连的节点 $j$，如果节点 $j$ 不在 $initial$ 中，我们将节点 $j$ 的根节点加入到集合 $g[i]$ 中。同时，我们统计每个根节点被多少个初始节点感染，将结果保存到计数器 $cnt$ 中。

然后，我们用一个变量 $ans$ 记录答案，用 $mx$ 记录最多可以减少的被感染节点的数量。初始时 $ans = 0$, $mx = -1$。

遍历所有初始时被感染的节点，对于每个节点 $i$，我们遍历 $g[i]$ 中的所有根节点，如果根节点只被一个初始节点感染，我们累加这个根节点所在的连通分量的大小到 $t$ 中。如果 $t > mx$ 或者 $t = mx$ 且 $i < ans$，我们更新 $ans = i$, $mx = t$。

最后返回 $ans$ 即可。

时间复杂度 $O(n^2 \times \alpha(n))$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 是节点的数量，而 $\alpha(n)$ 是 Ackermann 函数的反函数。

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class UnionFind:
    __slots__ = "p", "size"

    def __init__(self, n: int):
        self.p = list(range(n))
        self.size = [1] * n

    def find(self, x: int) -> int:
        if self.p[x] != x:
            self.p[x] = self.find(self.p[x])
        return self.p[x]

    def union(self, a: int, b: int) -> bool:
        pa, pb = self.find(a), self.find(b)
        if pa == pb:
            return False
        if self.size[pa] > self.size[pb]:
            self.p[pb] = pa
            self.size[pa] += self.size[pb]
        else:
            self.p[pa] = pb
            self.size[pb] += self.size[pa]
        return True

    def get_size(self, root: int) -> int:
        return self.size[root]


class Solution:
    def minMalwareSpread(self, graph: List[List[int]], initial: List[int]) -> int:
        n = len(graph)
        s = set(initial)
        uf = UnionFind(n)
        for i in range(n):
            if i not in s:
                for j in range(i + 1, n):
                    graph[i][j] and j not in s and uf.union(i, j)

        g = defaultdict(set)
        cnt = Counter()
        for i in initial:
            for j in range(n):
                if j not in s and graph[i][j]:
                    g[i].add(uf.find(j))
            for root in g[i]:
                cnt[root] += 1

        ans, mx = 0, -1
        for i in initial:
            t = sum(uf.get_size(root) for root in g[i] if cnt[root] == 1)
            if t > mx or (t == mx and i < ans):
                ans, mx = i, t
        return ans

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class UnionFind {
    private final int[] p;
    private final int[] size;

    public UnionFind(int n) {
        p = new int[n];
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            p[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }

    public int find(int x) {
        if (p[x] != x) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }

    public boolean union(int a, int b) {
        int pa = find(a), pb = find(b);
        if (pa == pb) {
            return false;
        }
        if (size[pa] > size[pb]) {
            p[pb] = pa;
            size[pa] += size[pb];
        } else {
            p[pa] = pb;
            size[pb] += size[pa];
        }
        return true;
    }

    public int size(int root) {
        return size[root];
    }
}

class Solution {
    public int minMalwareSpread(int[][] graph, int[] initial) {
        int n = graph.length;
        boolean[] s = new boolean[n];
        for (int i : initial) {
            s[i] = true;
        }
        UnionFind uf = new UnionFind(n);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (!s[i]) {
                for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                    if (graph[i][j] == 1 && !s[j]) {
                        uf.union(i, j);
                    }
                }
            }
        }
        Set<Integer>[] g = new Set[n];
        Arrays.setAll(g, k -> new HashSet<>());
        int[] cnt = new int[n];
        for (int i : initial) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (!s[j] && graph[i][j] == 1) {
                    g[i].add(uf.find(j));
                }
            }
            for (int root : g[i]) {
                ++cnt[root];
            }
        }
        int ans = 0, mx = -1;
        for (int i : initial) {
            int t = 0;
            for (int root : g[i]) {
                if (cnt[root] == 1) {
                    t += uf.size(root);
                }
            }
            if (t > mx || (t == mx && i < ans)) {
                ans = i;
                mx = t;
            }
        }
        return ans;
    }
}

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class UnionFind {
public:
    UnionFind(int n) {
        p = vector<int>(n);
        size = vector<int>(n, 1);
        iota(p.begin(), p.end(), 0);
    }

    bool unite(int a, int b) {
        int pa = find(a), pb = find(b);
        if (pa == pb) {
            return false;
        }
        if (size[pa] > size[pb]) {
            p[pb] = pa;
            size[pa] += size[pb];
        } else {
            p[pa] = pb;
            size[pb] += size[pa];
        }
        return true;
    }

    int find(int x) {
        if (p[x] != x) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }

    int getSize(int root) {
        return size[root];
    }

private:
    vector<int> p, size;
};

class Solution {
public:
    int minMalwareSpread(vector<vector<int>>& graph, vector<int>& initial) {
        int n = graph.size();
        bool s[n];
        memset(s, false, sizeof(s));
        for (int i : initial) {
            s[i] = true;
        }
        UnionFind uf(n);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (!s[i]) {
                for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                    if (graph[i][j] && !s[j]) {
                        uf.unite(i, j);
                    }
                }
            }
        }
        unordered_set<int> g[n];
        int cnt[n];
        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
        for (int i : initial) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (!s[j] && graph[i][j]) {
                    g[i].insert(uf.find(j));
                }
            }
            for (int root : g[i]) {
                ++cnt[root];
            }
        }
        int ans = 0, mx = -1;
        for (int i : initial) {
            int t = 0;
            for (int root : g[i]) {
                if (cnt[root] == 1) {
                    t += uf.getSize(root);
                }
            }
            if (t > mx || (t == mx && i < ans)) {
                ans = i;
                mx = t;
            }
        }
        return ans;
    }
};

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type unionFind struct {
    p, size []int
}

func newUnionFind(n int) *unionFind {
    p := make([]int, n)
    size := make([]int, n)
    for i := range p {
        p[i] = i
        size[i] = 1
    }
    return &unionFind{p, size}
}

func (uf *unionFind) find(x int) int {
    if uf.p[x] != x {
        uf.p[x] = uf.find(uf.p[x])
    }
    return uf.p[x]
}

func (uf *unionFind) union(a, b int) bool {
    pa, pb := uf.find(a), uf.find(b)
    if pa == pb {
        return false
    }
    if uf.size[pa] > uf.size[pb] {
        uf.p[pb] = pa
        uf.size[pa] += uf.size[pb]
    } else {
        uf.p[pa] = pb
        uf.size[pb] += uf.size[pa]
    }
    return true
}

func (uf *unionFind) getSize(root int) int {
    return uf.size[root]
}

func minMalwareSpread(graph [][]int, initial []int) int {
    n := len(graph)
    s := make([]bool, n)
    for _, i := range initial {
        s[i] = true
    }
    uf := newUnionFind(n)
    for i := range graph {
        if !s[i] {
            for j := i + 1; j < n; j++ {
                if graph[i][j] == 1 && !s[j] {
                    uf.union(i, j)
                }
            }
        }
    }
    g := make([]map[int]bool, n)
    for _, i := range initial {
        g[i] = map[int]bool{}
    }
    cnt := make([]int, n)
    for _, i := range initial {
        for j := 0; j < n; j++ {
            if !s[j] && graph[i][j] == 1 {
                g[i][uf.find(j)] = true
            }
        }
        for root := range g[i] {
            cnt[root]++
        }
    }
    ans, mx := 0, -1
    for _, i := range initial {
        t := 0
        for root := range g[i] {
            if cnt[root] == 1 {
                t += uf.getSize(root)
            }
        }
        if t > mx || t == mx && i < ans {
            ans, mx = i, t
        }
    }
    return ans
}

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class UnionFind {
    p: number[];
    size: number[];
    constructor(n: number) {
        this.p = Array(n)
            .fill(0)
            .map((_, i) => i);
        this.size = Array(n).fill(1);
    }

    find(x: number): number {
        if (this.p[x] !== x) {
            this.p[x] = this.find(this.p[x]);
        }
        return this.p[x];
    }

    union(a: number, b: number): boolean {
        const [pa, pb] = [this.find(a), this.find(b)];
        if (pa === pb) {
            return false;
        }
        if (this.size[pa] > this.size[pb]) {
            this.p[pb] = pa;
            this.size[pa] += this.size[pb];
        } else {
            this.p[pa] = pb;
            this.size[pb] += this.size[pa];
        }
        return true;
    }

    getSize(root: number): number {
        return this.size[root];
    }
}

function minMalwareSpread(graph: number[][], initial: number[]): number {
    const n = graph.length;
    const s = new Set(initial);
    const uf = new UnionFind(n);
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        if (!s.has(i)) {
            for (let j = i + 1; j < n; ++j) {
                if (graph[i][j] && !s.has(j)) {
                    uf.union(i, j);
                }
            }
        }
    }
    const g: Set<number>[] = Array.from({ length: n }, () => new Set());
    const cnt: number[] = Array(n).fill(0);
    for (const i of initial) {
        for (let j = 0; j < n; ++j) {
            if (graph[i][j] && !s.has(j)) {
                g[i].add(uf.find(j));
            }
        }
        for (const root of g[i]) {
            ++cnt[root];
        }
    }
    let ans = 0;
    let mx = -1;
    for (const i of initial) {
        let t = 0;
        for (const root of g[i]) {
            if (cnt[root] === 1) {
                t += uf.getSize(root);
            }
        }
        if (t > mx || (t === mx && i < ans)) {
            [ans, mx] = [i, t];
        }
    }
    return ans;
}

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