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918. 环形子数组的最大和

题目描述

给定一个长度为 n 的环形整数数组 nums ，返回 nums 的非空 子数组 的最大可能和 。

环形数组 意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， nums[i] 的下一个元素是 nums[(i + 1) % n] ， nums[i] 的前一个元素是 nums[(i - 1 + n) % n] 。

子数组 最多只能包含固定缓冲区 nums 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 nums[i], nums[i + 1], ..., nums[j] ，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % n == k2 % n 。

 

示例 1：

输入：nums = [1,-2,3,-2]
输出：3
解释：从子数组 [3] 得到最大和 3

示例 2：

输入：nums = [5,-3,5]
输出：10
解释：从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10

示例 3：

输入：nums = [3,-2,2,-3]
输出：3
解释：从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3

 

提示：

  • n == nums.length
  • 1 <= n <= 3 * 104
  • -3 * 104 <= nums[i] <= 3 * 104​​​​​​​

解法

方法一：维护前缀最值

求环形子数组的最大和，可以分为两种情况：

  • 情况一：最大和的子数组不包含环形部分，即为普通的最大子数组和；
  • 情况二：最大和的子数组包含环形部分，我们可以转换为：求数组总和减去最小子数组和。

因此，我们维护以下几个变量：

  • 前缀和最小值 $pmi$，初始值为 $0$；
  • 前缀和最大值 $pmx$，初始值为 $-\infty$；
  • 前缀和 $s$，初始值为 $0$；
  • 最小子数组和 $smi$，初始值为 $\infty$；
  • 答案 $ans$，初始值为 $-\infty$。

接下来，我们只需要遍历数组 $nums$，对于当前遍历到的元素 $x$，我们做以下更新操作：

  • 更新前缀和 $s = s + x$；
  • 更新答案 $ans = \max(ans, s - pmi)$，即为情况一的答案（前缀和 $s$ 减去最小前缀和 $pmi$，可以得到最大子数组和）；
  • 更新 $smi = \min(smi, s - pmx)$，即为情况二的最小子数组和；
  • 更新 $pmi = \min(pmi, s)$，即为最小前缀和；
  • 更新 $pmx = \max(pmx, s)$，即为最大前缀和。

遍历结束，我们取 $ans$ 以及 $s - smi$ 的最大值作为答案返回即可。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 为数组长度。空间复杂度 $O(1)$。

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class Solution:
    def maxSubarraySumCircular(self, nums: List[int]) -> int:
        pmi, pmx = 0, -inf
        ans, s, smi = -inf, 0, inf
        for x in nums:
            s += x
            ans = max(ans, s - pmi)
            smi = min(smi, s - pmx)
            pmi = min(pmi, s)
            pmx = max(pmx, s)
        return max(ans, s - smi)

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class Solution {
    public int maxSubarraySumCircular(int[] nums) {
        final int inf = 1 << 30;
        int pmi = 0, pmx = -inf;
        int ans = -inf, s = 0, smi = inf;
        for (int x : nums) {
            s += x;
            ans = Math.max(ans, s - pmi);
            smi = Math.min(smi, s - pmx);
            pmi = Math.min(pmi, s);
            pmx = Math.max(pmx, s);
        }
        return Math.max(ans, s - smi);
    }
}

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class Solution {
public:
    int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {
        const int inf = 1 << 30;
        int pmi = 0, pmx = -inf;
        int ans = -inf, s = 0, smi = inf;
        for (int x : nums) {
            s += x;
            ans = max(ans, s - pmi);
            smi = min(smi, s - pmx);
            pmi = min(pmi, s);
            pmx = max(pmx, s);
        }
        return max(ans, s - smi);
    }
};

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func maxSubarraySumCircular(nums []int) int {
    const inf = 1 << 30
    pmi, pmx := 0, -inf
    ans, s, smi := -inf, 0, inf
    for _, x := range nums {
        s += x
        ans = max(ans, s-pmi)
        smi = min(smi, s-pmx)
        pmi = min(pmi, s)
        pmx = max(pmx, s)
    }
    return max(ans, s-smi)
}

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function maxSubarraySumCircular(nums: number[]): number {
    let [pmi, pmx] = [0, -Infinity];
    let [ans, s, smi] = [-Infinity, 0, Infinity];
    for (const x of nums) {
        s += x;
        ans = Math.max(ans, s - pmi);
        smi = Math.min(smi, s - pmx);
        pmi = Math.min(pmi, s);
        pmx = Math.max(pmx, s);
    }
    return Math.max(ans, s - smi);
}

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