题目描述
给定一个整数数组 arr，找到 min(b) 的总和，其中 b 的范围为 arr 的每个（连续）子数组。
由于答案可能很大，因此 返回答案模 10^9 + 7 。
示例 1：
输入：arr = [3,1,2,4]
输出：17
解释：
子数组为 [3]，[1]，[2]，[4]，[3,1]，[1,2]，[2,4]，[3,1,2]，[1,2,4]，[3,1,2,4]。
最小值为 3，1，2，4，1，1，2，1，1，1，和为 17。
示例 2：
输入：arr = [11,81,94,43,3]
输出：444
提示：
1 <= arr.length <= 3 * 1041 <= arr[i] <= 3 * 104
解法
方法一：单调栈
题目要求的是每个子数组的最小值之和，实际上相当于，对于每个元素 \(arr[i]\)，求以 \(arr[i]\) 为最小值的子数组的个数，然后乘以 \(arr[i]\)，最后求和。
因此，题目的重点转换为：求以 \(arr[i]\) 为最小值的子数组的个数。对于 \(arr[i]\)，我们找出其左边第一个小于 \(arr[i]\) 的位置 \(left[i]\)，右侧第一个小于等于 \(arr[i]\) 的位置 \(right[i]\)，则以 \(arr[i]\) 为最小值的子数组的个数为 \((i - left[i]) \times (right[i] - i)\)。
注意，这里为什么要求右侧第一个小于等于 \(arr[i]\) 的位置 \(right[i]\)，而不是小于 \(arr[i]\) 的位置呢？这是因为，如果是右侧第一个小于 \(arr[i]\) 的位置 \(right[i]\)，则会导致重复计算。
我们可以举个例子来说明，对于以下数组：
下标为 \(3\) 的元素大小为 \(2\)，左侧第一个小于 \(2\) 的元素下标为 \(0\)，如果我们求右侧第一个小于 \(2\) 的元素下标，可以得到下标为 \(7\)。也即是说，子数组区间为 \((0, 7)\)。注意，这里是开区间。
按照同样的方法，我们可以求出下标为 \(6\) 的元素的子数组区间，可以发现，其子数组区间也为 \((0, 7)\)，也即是说，下标为 \(3\) 和下标为 \(6\) 的元素的子数组区间是重复的。这样就造成了重复计算。
如果我们求的是右侧第一个小于等于其值的下标，就不会有重复问题，因为下标为 \(3\) 的子数组区间变为 \((0, 6)\)，下标为 \(6\) 的子数组区间为 \((0, 7)\)，两者不重复。
回到这道题上，我们只需要遍历数组，对于每个元素 \(arr[i]\)，利用单调栈求出其左侧第一个小于 \(arr[i]\) 的位置 \(left[i]\)，右侧第一个小于等于 \(arr[i]\) 的位置 \(right[i]\)，则以 \(arr[i]\) 为最小值的子数组的个数为 \((i - left[i]) \times (right[i] - i)\)，然后乘以 \(arr[i]\)，最后求和即可。
注意数据的溢出以及取模操作。
时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。其中 \(n\) 为数组 \(arr\) 的长度。
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22 | class Solution:
def sumSubarrayMins(self, arr: List[int]) -> int:
n = len(arr)
left = [-1] * n
right = [n] * n
stk = []
for i, v in enumerate(arr):
while stk and arr[stk[-1]] >= v:
stk.pop()
if stk:
left[i] = stk[-1]
stk.append(i)
stk = []
for i in range(n - 1, -1, -1):
while stk and arr[stk[-1]] > arr[i]:
stk.pop()
if stk:
right[i] = stk[-1]
stk.append(i)
mod = 10**9 + 7
return sum((i - left[i]) * (right[i] - i) * v for i, v in enumerate(arr)) % mod
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36 | class Solution {
public int sumSubarrayMins(int[] arr) {
int n = arr.length;
int[] left = new int[n];
int[] right = new int[n];
Arrays.fill(left, -1);
Arrays.fill(right, n);
Deque<Integer> stk = new ArrayDeque<>();
for (int i = 0; i < n; ++i) {
while (!stk.isEmpty() && arr[stk.peek()] >= arr[i]) {
stk.pop();
}
if (!stk.isEmpty()) {
left[i] = stk.peek();
}
stk.push(i);
}
stk.clear();
for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
while (!stk.isEmpty() && arr[stk.peek()] > arr[i]) {
stk.pop();
}
if (!stk.isEmpty()) {
right[i] = stk.peek();
}
stk.push(i);
}
final int mod = (int) 1e9 + 7;
long ans = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
ans += (long) (i - left[i]) * (right[i] - i) % mod * arr[i] % mod;
ans %= mod;
}
return (int) ans;
}
}
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35 | class Solution {
public:
int sumSubarrayMins(vector<int>& arr) {
int n = arr.size();
vector<int> left(n, -1);
vector<int> right(n, n);
stack<int> stk;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
while (!stk.empty() && arr[stk.top()] >= arr[i]) {
stk.pop();
}
if (!stk.empty()) {
left[i] = stk.top();
}
stk.push(i);
}
stk = stack<int>();
for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
while (!stk.empty() && arr[stk.top()] > arr[i]) {
stk.pop();
}
if (!stk.empty()) {
right[i] = stk.top();
}
stk.push(i);
}
long long ans = 0;
const int mod = 1e9 + 7;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
ans += 1LL * (i - left[i]) * (right[i] - i) * arr[i] % mod;
ans %= mod;
}
return ans;
}
};
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35 | func sumSubarrayMins(arr []int) (ans int) {
n := len(arr)
left := make([]int, n)
right := make([]int, n)
for i := range left {
left[i] = -1
right[i] = n
}
stk := []int{}
for i, v := range arr {
for len(stk) > 0 && arr[stk[len(stk)-1]] >= v {
stk = stk[:len(stk)-1]
}
if len(stk) > 0 {
left[i] = stk[len(stk)-1]
}
stk = append(stk, i)
}
stk = []int{}
for i := n - 1; i >= 0; i-- {
for len(stk) > 0 && arr[stk[len(stk)-1]] > arr[i] {
stk = stk[:len(stk)-1]
}
if len(stk) > 0 {
right[i] = stk[len(stk)-1]
}
stk = append(stk, i)
}
const mod int = 1e9 + 7
for i, v := range arr {
ans += (i - left[i]) * (right[i] - i) * v % mod
ans %= mod
}
return
}
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34 | function sumSubarrayMins(arr: number[]): number {
const n: number = arr.length;
const left: number[] = Array(n).fill(-1);
const right: number[] = Array(n).fill(n);
const stk: number[] = [];
for (let i = 0; i < n; ++i) {
while (stk.length > 0 && arr[stk.at(-1)] >= arr[i]) {
stk.pop();
}
if (stk.length > 0) {
left[i] = stk.at(-1);
}
stk.push(i);
}
stk.length = 0;
for (let i = n - 1; ~i; --i) {
while (stk.length > 0 && arr[stk.at(-1)] > arr[i]) {
stk.pop();
}
if (stk.length > 0) {
right[i] = stk.at(-1);
}
stk.push(i);
}
const mod: number = 1e9 + 7;
let ans: number = 0;
for (let i = 0; i < n; ++i) {
ans += ((((i - left[i]) * (right[i] - i)) % mod) * arr[i]) % mod;
ans %= mod;
}
return ans;
}
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40 | use std::collections::VecDeque;
impl Solution {
pub fn sum_subarray_mins(arr: Vec<i32>) -> i32 {
let n = arr.len();
let mut left = vec![-1; n];
let mut right = vec![n as i32; n];
let mut stk: VecDeque<usize> = VecDeque::new();
for i in 0..n {
while !stk.is_empty() && arr[*stk.back().unwrap()] >= arr[i] {
stk.pop_back();
}
if let Some(&top) = stk.back() {
left[i] = top as i32;
}
stk.push_back(i);
}
stk.clear();
for i in (0..n).rev() {
while !stk.is_empty() && arr[*stk.back().unwrap()] > arr[i] {
stk.pop_back();
}
if let Some(&top) = stk.back() {
right[i] = top as i32;
}
stk.push_back(i);
}
let MOD = 1_000_000_007;
let mut ans: i64 = 0;
for i in 0..n {
ans += ((((right[i] - (i as i32)) * ((i as i32) - left[i])) as i64) * (arr[i] as i64))
% MOD;
ans %= MOD;
}
ans as i32
}
}
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