879. 盈利计划

题目描述

集团里有 n 名员工，他们可以完成各种各样的工作创造利润。

第 i 种工作会产生 profit[i] 的利润，它要求 group[i] 名成员共同参与。如果成员参与了其中一项工作，就不能参与另一项工作。

工作的任何至少产生 minProfit 利润的子集称为 盈利计划 。并且工作的成员总数最多为 n 。

有多少种计划可以选择？因为答案很大，所以 返回结果模 10^9 + 7 的值。

示例 1：

输入：n = 5, minProfit = 3, group = [2,2], profit = [2,3]
输出：2
解释：至少产生 3 的利润，该集团可以完成工作 0 和工作 1 ，或仅完成工作 1 。
总的来说，有两种计划。

示例 2：

输入：n = 10, minProfit = 5, group = [2,3,5], profit = [6,7,8]
输出：7
解释：至少产生 5 的利润，只要完成其中一种工作就行，所以该集团可以完成任何工作。
有 7 种可能的计划：(0)，(1)，(2)，(0,1)，(0,2)，(1,2)，以及 (0,1,2) 。

提示：

1 <= n <= 100
0 <= minProfit <= 100
1 <= group.length <= 100
1 <= group[i] <= 100
profit.length == group.length
0 <= profit[i] <= 100

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i, j, k)$，表示从第 $i$ 个工作开始，且当前已经选择了 $j$ 个员工，且当前产生的利润为 $k$，这种情况下的方案数。那么答案就是 $dfs(0, 0, 0)$。

函数 $dfs(i, j, k)$ 的执行过程如下：

如果 $i = n$，表示所有工作都已经考虑过了，如果 $k \geq minProfit$，则方案数为 $1$，否则方案数为 $0$；
如果 $i \lt n$，我们可以选择不选择第 $i$ 个工作，此时方案数为 $dfs(i + 1, j, k)$；如果 $j + group[i] \leq n$，我们也可以选择第 $i$ 个工作，此时方案数为 $dfs(i + 1, j + group[i], \min(k + profit[i], minProfit))$。这里我们将利润上限限制在 $minProfit$，是因为利润超过 $minProfit$ 对我们的答案没有任何影响。

最后返回 $dfs(0, 0, 0)$ 即可。

为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索的方法，用一个三维数组 $f$ 记录所有的 $dfs(i, j, k)$ 的结果。当我们计算出 $dfs(i, j, k)$ 的值后，我们将其存入 $f[i][j][k]$ 中。调用 $dfs(i, j, k)$ 时，如果 $f[i][j][k]$ 已经被计算过，我们直接返回 $f[i][j][k]$ 即可。

时间复杂度 $O(m \times n \times minProfit)$，空间复杂度 $O(m \times n \times minProfit)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别为工作的数量和员工的数量，而 $minProfit$ 为至少产生的利润。

Python3JavaC++Go

class Solution:
    def profitableSchemes(
        self, n: int, minProfit: int, group: List[int], profit: List[int]
    ) -> int:
        @cache
        def dfs(i: int, j: int, k: int) -> int:
            if i >= len(group):
                return 1 if k == minProfit else 0
            ans = dfs(i + 1, j, k)
            if j + group[i] <= n:
                ans += dfs(i + 1, j + group[i], min(k + profit[i], minProfit))
            return ans % (10**9 + 7)

        return dfs(0, 0, 0)

class Solution {
    private Integer[][][] f;
    private int m;
    private int n;
    private int minProfit;
    private int[] group;
    private int[] profit;
    private final int mod = (int) 1e9 + 7;

    public int profitableSchemes(int n, int minProfit, int[] group, int[] profit) {
        m = group.length;
        this.n = n;
        f = new Integer[m][n + 1][minProfit + 1];
        this.minProfit = minProfit;
        this.group = group;
        this.profit = profit;
        return dfs(0, 0, 0);
    }

    private int dfs(int i, int j, int k) {
        if (i >= m) {
            return k == minProfit ? 1 : 0;
        }
        if (f[i][j][k] != null) {
            return f[i][j][k];
        }
        int ans = dfs(i + 1, j, k);
        if (j + group[i] <= n) {
            ans += dfs(i + 1, j + group[i], Math.min(k + profit[i], minProfit));
        }
        ans %= mod;
        return f[i][j][k] = ans;
    }
}

class Solution {
public:
    int profitableSchemes(int n, int minProfit, vector<int>& group, vector<int>& profit) {
        int m = group.size();
        int f[m][n + 1][minProfit + 1];
        memset(f, -1, sizeof(f));
        const int mod = 1e9 + 7;
        function<int(int, int, int)> dfs = [&](int i, int j, int k) -> int {
            if (i >= m) {
                return k == minProfit ? 1 : 0;
            }
            if (f[i][j][k] != -1) {
                return f[i][j][k];
            }
            int ans = dfs(i + 1, j, k);
            if (j + group[i] <= n) {
                ans += dfs(i + 1, j + group[i], min(k + profit[i], minProfit));
            }
            ans %= mod;
            return f[i][j][k] = ans;
        };
        return dfs(0, 0, 0);
    }
};

func profitableSchemes(n int, minProfit int, group []int, profit []int) int {
    m := len(group)
    f := make([][][]int, m)
    for i := range f {
        f[i] = make([][]int, n+1)
        for j := range f[i] {
            f[i][j] = make([]int, minProfit+1)
            for k := range f[i][j] {
                f[i][j][k] = -1
            }
        }
    }
    const mod = 1e9 + 7
    var dfs func(i, j, k int) int
    dfs = func(i, j, k int) int {
        if i >= m {
            if k >= minProfit {
                return 1
            }
            return 0
        }
        if f[i][j][k] != -1 {
            return f[i][j][k]
        }
        ans := dfs(i+1, j, k)
        if j+group[i] <= n {
            ans += dfs(i+1, j+group[i], min(k+profit[i], minProfit))
        }
        ans %= mod
        f[i][j][k] = ans
        return ans
    }
    return dfs(0, 0, 0)
}

方法二：动态规划

我们定义 $f[i][j][k]$ 表示前 $i$ 个工作中，选择了不超过 $j$ 个员工，且至少产生 $k$ 的利润的方案数。初始时 $f[0][j][0] = 1$，表示不选择任何工作，且至少产生 $0$ 的利润的方案数为 $1$。答案即为 $f[m][n][minProfit]$。

对于第 $i$ 个工作，我们可以选择参与或不参与。如果不参与，则 $f[i][j][k] = f[i - 1][j][k]$；如果参与，则 $f[i][j][k] = f[i - 1][j - group[i - 1]][max(0, k - profit[i - 1])]$。我们需要枚举 $j$ 和 $k$，并将所有的方案数相加。

最终的答案即为 $f[m][n][minProfit]$。