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864. 获取所有钥匙的最短路径

题目描述

给定一个二维网格 grid ，其中：

  • '.' 代表一个空房间
  • '#' 代表一堵墙
  • '@' 是起点
  • 小写字母代表钥匙
  • 大写字母代表锁

我们从起点开始出发，一次移动是指向四个基本方向之一行走一个单位空间。我们不能在网格外面行走，也无法穿过一堵墙。如果途经一个钥匙，我们就把它捡起来。除非我们手里有对应的钥匙，否则无法通过锁。

假设 k 为 钥匙/锁 的个数，且满足 1 <= k <= 6，字母表中的前 k 个字母在网格中都有自己对应的一个小写和一个大写字母。换言之，每个锁有唯一对应的钥匙，每个钥匙也有唯一对应的锁。另外，代表钥匙和锁的字母互为大小写并按字母顺序排列。

返回获取所有钥匙所需要的移动的最少次数。如果无法获取所有钥匙，返回 -1 。

 

示例 1：

输入：grid = ["@.a..","###.#","b.A.B"]
输出：8
解释：目标是获得所有钥匙，而不是打开所有锁。

示例 2：

输入：grid = ["@..aA","..B#.","....b"]
输出：6

示例 3:

输入: grid = ["@Aa"]
输出: -1

 

提示：

  • m == grid.length
  • n == grid[i].length
  • 1 <= m, n <= 30
  • grid[i][j] 只含有 '.', '#', '@', 'a'-'f' 以及 'A'-'F'
  • 钥匙的数目范围是 [1, 6] 
  • 每个钥匙都对应一个 不同 的字母
  • 每个钥匙正好打开一个对应的锁

解法

方法一：状态压缩 + BFS

根据题意，我们需要从起点出发，往上下左右四个方向走，获取所有钥匙，最后返回获取所有钥匙所需要的移动的最少次数。若无法获取所有钥匙，返回 $-1$。

首先，我们遍历二维网格，找到起点位置 $(si, sj)$，并统计钥匙的个数 $k$。

然后，我们可以使用广度优先搜索 $BFS$ 来解决本题。由于钥匙的个数范围是 $[1, 6]$，我们可以用一个二进制数来表示钥匙的状态，其中第 $i$ 位为 $1$ 表示第 $i$ 把钥匙已经获取到了，为 $0$ 表示第 $i$ 把钥匙还没有获取到。

比如，以下例子中，共有 $4$ 个二进制位为 $1$，也就表示有 'b', 'c', 'd', 'f' $4$ 把钥匙已经获取到了。

1 0 1 1 1 0
^   ^ ^ ^
f   d c b

我们定义一个队列 $q$ 来存储当前位置以及当前拥有的钥匙的状态，即 $(i, j, \textit{state})$，其中 $(i, j)$ 表示当前位置，$\textit{state}$ 表示当前拥有的钥匙的状态，即 $\textit{state}$ 的第 $i$ 位为 $1$ 表示当前拥有第 $i$ 把钥匙，否则表示当前没有第 $i$ 把钥匙。

另外，定义哈希表或数组 $vis$ 记录当前位置以及当前拥有的钥匙的状态是否已经被访问过，如果访问过，则不需要再次访问。$vis[i][j][\textit{state}]$ 表示当前位置为 $(i, j)$，当前拥有的钥匙的状态为 $state$ 时，是否已经被访问过。

我们从起点 $(si, sj)$ 出发，将其加入队列 $q$，并将 $vis[si][sj][0]$ 置为 $true$，表示起点位置以及拥有的钥匙的状态为 $0$ 时已经被访问过。

在广度优先搜索的过程中，我们每次从队首取出一个位置 $(i, j, \textit{state})$，并判断当前位置是否为终点，即当前位置是否拥有所有的钥匙，即 $state$ 的二进制表示中的 $1$ 的个数是否为 $k$。如果是，将当前步数作为答案返回。

否则，我们从当前位置出发，往上下左右四个方向走，如果可以走到下一个位置 $(x, y)$，则将 $(x, y, nxt)$ 加入队列 $q$，其中 $nxt$ 表示下一个位置的钥匙的状态。

这里 $(x, y)$ 首先需要满足在网格范围内，即 $0 \leq x < m$ 且 $0 \leq y < n$。其次，如果 $(x, y)$ 位置是墙壁，即 grid[x][y] == '#'，或者 $(x, y)$ 位置是锁，但我们没有对应的钥匙，即 grid[x][y] >= 'A' && grid[x][y] <= 'F' && (state >> (grid[x][y] - 'A') & 1) == 0)，则不能走到位置 $(x, y)$。否则，我们可以走到位置 $(x, y)$。

搜索结束，没能找到所有的钥匙，返回 $-1$。

时间复杂度 $O(m\times n\times 2^k)$，空间复杂度 $O(m\times n\times 2^k)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别为网格的行数和列数，而 $k$ 为钥匙的个数。

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class Solution:
    def shortestPathAllKeys(self, grid: List[str]) -> int:
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        # 找起点 (si, sj)
        si, sj = next((i, j) for i in range(m) for j in range(n) if grid[i][j] == '@')
        # 统计钥匙数量
        k = sum(v.islower() for row in grid for v in row)
        dirs = (-1, 0, 1, 0, -1)
        q = deque([(si, sj, 0)])
        vis = {(si, sj, 0)}
        ans = 0
        while q:
            for _ in range(len(q)):
                i, j, state = q.popleft()
                # 找到所有钥匙，返回当前步数
                if state == (1 << k) - 1:
                    return ans

                # 往四个方向搜索
                for a, b in pairwise(dirs):
                    x, y = i + a, j + b
                    nxt = state
                    # 在边界范围内
                    if 0 <= x < m and 0 <= y < n:
                        c = grid[x][y]
                        # 是墙，或者是锁，但此时没有对应的钥匙，无法通过
                        if (
                            c == '#'
                            or c.isupper()
                            and (state & (1 << (ord(c) - ord('A')))) == 0
                        ):
                            continue
                        # 是钥匙
                        if c.islower():
                            # 更新状态
                            nxt |= 1 << (ord(c) - ord('a'))
                        # 此状态未访问过，入队
                        if (x, y, nxt) not in vis:
                            vis.add((x, y, nxt))
                            q.append((x, y, nxt))
            # 步数加一
            ans += 1
        return -1

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class Solution {
    private int[] dirs = {-1, 0, 1, 0, -1};

    public int shortestPathAllKeys(String[] grid) {
        int m = grid.length, n = grid[0].length();
        int k = 0;
        int si = 0, sj = 0;
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                char c = grid[i].charAt(j);
                if (Character.isLowerCase(c)) {
                    // 累加钥匙数量
                    ++k;
                } else if (c == '@') {
                    // 起点
                    si = i;
                    sj = j;
                }
            }
        }
        Deque<int[]> q = new ArrayDeque<>();
        q.offer(new int[] {si, sj, 0});
        boolean[][][] vis = new boolean[m][n][1 << k];
        vis[si][sj][0] = true;
        int ans = 0;
        while (!q.isEmpty()) {
            for (int t = q.size(); t > 0; --t) {
                var p = q.poll();
                int i = p[0], j = p[1], state = p[2];
                // 找到所有钥匙，返回当前步数
                if (state == (1 << k) - 1) {
                    return ans;
                }
                // 往四个方向搜索
                for (int h = 0; h < 4; ++h) {
                    int x = i + dirs[h], y = j + dirs[h + 1];
                    // 在边界范围内
                    if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n) {
                        char c = grid[x].charAt(y);
                        // 是墙，或者是锁，但此时没有对应的钥匙，无法通过
                        if (c == '#'
                            || (Character.isUpperCase(c) && ((state >> (c - 'A')) & 1) == 0)) {
                            continue;
                        }
                        int nxt = state;
                        // 是钥匙
                        if (Character.isLowerCase(c)) {
                            // 更新状态
                            nxt |= 1 << (c - 'a');
                        }
                        // 此状态未访问过，入队
                        if (!vis[x][y][nxt]) {
                            vis[x][y][nxt] = true;
                            q.offer(new int[] {x, y, nxt});
                        }
                    }
                }
            }
            // 步数加一
            ++ans;
        }
        return -1;
    }
}

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class Solution {
public:
    const static inline vector<int> dirs = {-1, 0, 1, 0, -1};

    int shortestPathAllKeys(vector<string>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        int k = 0;
        int si = 0, sj = 0;
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                char c = grid[i][j];
                // 累加钥匙数量
                if (islower(c)) ++k;
                // 起点
                else if (c == '@')
                    si = i, sj = j;
            }
        }
        queue<tuple<int, int, int>> q{{{si, sj, 0}}};
        vector<vector<vector<bool>>> vis(m, vector<vector<bool>>(n, vector<bool>(1 << k)));
        vis[si][sj][0] = true;
        int ans = 0;
        while (!q.empty()) {
            for (int t = q.size(); t; --t) {
                auto [i, j, state] = q.front();
                q.pop();
                // 找到所有钥匙，返回当前步数
                if (state == (1 << k) - 1) return ans;
                // 往四个方向搜索
                for (int h = 0; h < 4; ++h) {
                    int x = i + dirs[h], y = j + dirs[h + 1];
                    // 在边界范围内
                    if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n) {
                        char c = grid[x][y];
                        // 是墙，或者是锁，但此时没有对应的钥匙，无法通过
                        if (c == '#' || (isupper(c) && (state >> (c - 'A') & 1) == 0)) continue;
                        int nxt = state;
                        // 是钥匙，更新状态
                        if (islower(c)) nxt |= 1 << (c - 'a');
                        // 此状态未访问过，入队
                        if (!vis[x][y][nxt]) {
                            vis[x][y][nxt] = true;
                            q.push({x, y, nxt});
                        }
                    }
                }
            }
            // 步数加一
            ++ans;
        }
        return -1;
    }
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func shortestPathAllKeys(grid []string) int {
    m, n := len(grid), len(grid[0])
    var k, si, sj int
    for i, row := range grid {
        for j, c := range row {
            if c >= 'a' && c <= 'z' {
                // 累加钥匙数量
                k++
            } else if c == '@' {
                // 起点
                si, sj = i, j
            }
        }
    }
    type tuple struct{ i, j, state int }
    q := []tuple{tuple{si, sj, 0}}
    vis := map[tuple]bool{tuple{si, sj, 0}: true}
    dirs := []int{-1, 0, 1, 0, -1}
    ans := 0
    for len(q) > 0 {
        for t := len(q); t > 0; t-- {
            p := q[0]
            q = q[1:]
            i, j, state := p.i, p.j, p.state
            // 找到所有钥匙，返回当前步数
            if state == 1<<k-1 {
                return ans
            }
            // 往四个方向搜索
            for h := 0; h < 4; h++ {
                x, y := i+dirs[h], j+dirs[h+1]
                // 在边界范围内
                if x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n {
                    c := grid[x][y]
                    // 是墙，或者是锁，但此时没有对应的钥匙，无法通过
                    if c == '#' || (c >= 'A' && c <= 'Z' && (state>>(c-'A')&1 == 0)) {
                        continue
                    }
                    nxt := state
                    // 是钥匙，更新状态
                    if c >= 'a' && c <= 'z' {
                        nxt |= 1 << (c - 'a')
                    }
                    // 此状态未访问过，入队
                    if !vis[tuple{x, y, nxt}] {
                        vis[tuple{x, y, nxt}] = true
                        q = append(q, tuple{x, y, nxt})
                    }
                }
            }
        }
        // 步数加一
        ans++
    }
    return -1
}

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