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765. 情侣牵手

题目描述

n 对情侣坐在连续排列的 2n 个座位上，想要牵到对方的手。

人和座位由一个整数数组 row 表示，其中 row[i] 是坐在第 i 个座位上的人的 ID。情侣们按顺序编号，第一对是 (0, 1)，第二对是 (2, 3)，以此类推，最后一对是 (2n-2, 2n-1)。

返回 最少交换座位的次数，以便每对情侣可以并肩坐在一起。 每次交换可选择任意两人，让他们站起来交换座位。

 

示例 1:

输入: row = [0,2,1,3]
输出: 1
解释: 只需要交换row[1]和row[2]的位置即可。

示例 2:

输入: row = [3,2,0,1]
输出: 0
解释: 无需交换座位，所有的情侣都已经可以手牵手了。

 

提示:

  • 2n == row.length
  • 2 <= n <= 30
  • n 是偶数
  • 0 <= row[i] < 2n
  • row 中所有元素均无重复

解法

方法一：并查集

我们可以给每一对情侣编号，编号 $0$ 和 $1$ 的人对应情侣 $0$，编号 $2$ 和 $3$ 的人对应情侣 $1$...即编号为 $row[i]$ 对应的情侣编号为 $\lfloor \frac{row[i]}{2} \rfloor$。

如果有 $k$ 对情侣相互之间坐错了位置，也即是说，有 $k$ 对情侣处于一个置换环中，那么他们之间需要经过 $k-1$ 次交换才能都坐到正确的位置上。

为什么？不妨这样考虑，我们先调整一对情侣的位置，使其坐到正确的位置上，那么问题就从 $k$ 对情侣的问题，转换成了 $k-1$ 对情侣的问题。依此类推，最终 $k=1$ 时，交换次数为 $0$。所以，如果 $k$ 对情侣相互之间坐错了位置，那么需要 $k-1$ 次交换。

因此，我们只需要遍历一遍数组，利用并查集找出有多少个置换环，假设有 $x$ 个，每个环的大小（情侣的对数）为 $y_1, y_2, \cdots, y_x$，那么需要交换的次数为 $y_1-1 + y_2-1 + \cdots + y_x-1 = y_1 + y_2 + \cdots + y_x - x = n - x$。

时间复杂度 $O(n \times \alpha(n))$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $\alpha(n)$ 为阿克曼函数的反函数，可以认为是一个很小的常数。

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class Solution:
    def minSwapsCouples(self, row: List[int]) -> int:
        def find(x: int) -> int:
            if p[x] != x:
                p[x] = find(p[x])
            return p[x]

        n = len(row) >> 1
        p = list(range(n))
        for i in range(0, len(row), 2):
            a, b = row[i] >> 1, row[i + 1] >> 1
            p[find(a)] = find(b)
        return n - sum(i == find(i) for i in range(n))

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class Solution {
    private int[] p;

    public int minSwapsCouples(int[] row) {
        int n = row.length >> 1;
        p = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            p[i] = i;
        }
        for (int i = 0; i < n << 1; i += 2) {
            int a = row[i] >> 1, b = row[i + 1] >> 1;
            p[find(a)] = find(b);
        }
        int ans = n;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (i == find(i)) {
                --ans;
            }
        }
        return ans;
    }

    private int find(int x) {
        if (p[x] != x) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }
}

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class Solution {
public:
    int minSwapsCouples(vector<int>& row) {
        int n = row.size() / 2;
        int p[n];
        iota(p, p + n, 0);
        function<int(int)> find = [&](int x) -> int {
            if (p[x] != x) {
                p[x] = find(p[x]);
            }
            return p[x];
        };
        for (int i = 0; i < n << 1; i += 2) {
            int a = row[i] >> 1, b = row[i + 1] >> 1;
            p[find(a)] = find(b);
        }
        int ans = n;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            ans -= i == find(i);
        }
        return ans;
    }
};

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func minSwapsCouples(row []int) int {
    n := len(row) >> 1
    p := make([]int, n)
    for i := range p {
        p[i] = i
    }
    var find func(int) int
    find = func(x int) int {
        if p[x] != x {
            p[x] = find(p[x])
        }
        return p[x]
    }
    for i := 0; i < n<<1; i += 2 {
        a, b := row[i]>>1, row[i+1]>>1
        p[find(a)] = find(b)
    }
    ans := n
    for i := range p {
        if find(i) == i {
            ans--
        }
    }
    return ans
}

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function minSwapsCouples(row: number[]): number {
    const n = row.length >> 1;
    const p: number[] = Array(n)
        .fill(0)
        .map((_, i) => i);
    const find = (x: number): number => {
        if (p[x] !== x) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    };
    for (let i = 0; i < n << 1; i += 2) {
        const a = row[i] >> 1;
        const b = row[i + 1] >> 1;
        p[find(a)] = find(b);
    }
    let ans = n;
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        if (i === find(i)) {
            --ans;
        }
    }
    return ans;
}

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public class Solution {
    private int[] p;

    public int MinSwapsCouples(int[] row) {
        int n = row.Length >> 1;
        p = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            p[i] = i;
        }
        for (int i = 0; i < n << 1; i += 2) {
            int a = row[i] >> 1;
            int b = row[i + 1] >> 1;
            p[find(a)] = find(b);
        }
        int ans = n;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (p[i] == i) {
                --ans;
            }
        }
        return ans;
    }

    private int find(int x) {
        if (p[x] != x) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }
}

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