题目描述
给你一个 n x n 的网格 grid ，代表一块樱桃地，每个格子由以下三种数字的一种来表示：
0 表示这个格子是空的，所以你可以穿过它。1 表示这个格子里装着一个樱桃，你可以摘到樱桃然后穿过它。-1 表示这个格子里有荆棘，挡着你的路。
请你统计并返回：在遵守下列规则的情况下，能摘到的最多樱桃数：
- 从位置
(0, 0) 出发，最后到达 (n - 1, n - 1) ，只能向下或向右走，并且只能穿越有效的格子（即只可以穿过值为 0 或者 1 的格子）；
- 当到达
(n - 1, n - 1) 后，你要继续走，直到返回到 (0, 0) ，只能向上或向左走，并且只能穿越有效的格子；
- 当你经过一个格子且这个格子包含一个樱桃时，你将摘到樱桃并且这个格子会变成空的（值变为
0 ）；
- 如果在
(0, 0) 和 (n - 1, n - 1) 之间不存在一条可经过的路径，则无法摘到任何一个樱桃。
示例 1：
输入：grid = [[0,1,-1],[1,0,-1],[1,1,1]]
输出：5
解释：玩家从 (0, 0) 出发：向下、向下、向右、向右移动至 (2, 2) 。
在这一次行程中捡到 4 个樱桃，矩阵变成 [[0,1,-1],[0,0,-1],[0,0,0]] 。
然后，玩家向左、向上、向上、向左返回起点，再捡到 1 个樱桃。
总共捡到 5 个樱桃，这是最大可能值。
示例 2：
输入：grid = [[1,1,-1],[1,-1,1],[-1,1,1]]
输出：0
提示：
n == grid.lengthn == grid[i].length1 <= n <= 50grid[i][j] 为 -1、0 或 1grid[0][0] != -1grid[n - 1][n - 1] != -1
解法
方法一：动态规划
根据题目描述，玩家从 $(0, 0)$ 出发，到达 $(n-1, n-1)$ 后，又重新返回到起始点 $(0, 0)$，我们可以视为玩家两次从 $(0, 0)$ 出发，到达 $(n-1, n-1)$。
因此，我们定义 $f[k][i_1][i_2]$ 表示两次都走了 $k$ 步，分别到达 $(i_1, k-i_1)$ 和 $(i_2, k-i_2)$ 时，能够摘到的最多樱桃数。初始时 $f[0][0][0] = grid[0][0]$。其余 $f[k][i_1][i_2]$ 的初始值为负无穷。答案为 $\max(0, f[2n-2][n-1][n-1])$。
我们可以根据题目描述，得到状态转移方程：
$$
f[k][i_1][i_2] = \max(f[k-1][x_1][x_2] + t, f[k][i_1][i_2])
$$
其中 $t$ 表示 $(i_1, k-i_1)$ 和 $(i_2, k-i_2)$ 位置上的樱桃数，而 $x_1, x_2$ 分别表示 $(i_1, k-i_1)$ 和 $(i_2, k-i_2)$ 的前一步位置。
时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^3)$。其中 $n$ 表示网格的边长。
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24 | class Solution:
def cherryPickup(self, grid: List[List[int]]) -> int:
n = len(grid)
f = [[[-inf] * n for _ in range(n)] for _ in range((n << 1) - 1)]
f[0][0][0] = grid[0][0]
for k in range(1, (n << 1) - 1):
for i1 in range(n):
for i2 in range(n):
j1, j2 = k - i1, k - i2
if (
not 0 <= j1 < n
or not 0 <= j2 < n
or grid[i1][j1] == -1
or grid[i2][j2] == -1
):
continue
t = grid[i1][j1]
if i1 != i2:
t += grid[i2][j2]
for x1 in range(i1 - 1, i1 + 1):
for x2 in range(i2 - 1, i2 + 1):
if x1 >= 0 and x2 >= 0:
f[k][i1][i2] = max(f[k][i1][i2], f[k - 1][x1][x2] + t)
return max(0, f[-1][-1][-1])
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31 | class Solution {
public int cherryPickup(int[][] grid) {
int n = grid.length;
int[][][] f = new int[n * 2][n][n];
f[0][0][0] = grid[0][0];
for (int k = 1; k < n * 2 - 1; ++k) {
for (int i1 = 0; i1 < n; ++i1) {
for (int i2 = 0; i2 < n; ++i2) {
int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
f[k][i1][i2] = Integer.MIN_VALUE;
if (j1 < 0 || j1 >= n || j2 < 0 || j2 >= n || grid[i1][j1] == -1
|| grid[i2][j2] == -1) {
continue;
}
int t = grid[i1][j1];
if (i1 != i2) {
t += grid[i2][j2];
}
for (int x1 = i1 - 1; x1 <= i1; ++x1) {
for (int x2 = i2 - 1; x2 <= i2; ++x2) {
if (x1 >= 0 && x2 >= 0) {
f[k][i1][i2] = Math.max(f[k][i1][i2], f[k - 1][x1][x2] + t);
}
}
}
}
}
}
return Math.max(0, f[n * 2 - 2][n - 1][n - 1]);
}
}
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30 | class Solution {
public:
int cherryPickup(vector<vector<int>>& grid) {
int n = grid.size();
vector<vector<vector<int>>> f(n << 1, vector<vector<int>>(n, vector<int>(n, -1e9)));
f[0][0][0] = grid[0][0];
for (int k = 1; k < n * 2 - 1; ++k) {
for (int i1 = 0; i1 < n; ++i1) {
for (int i2 = 0; i2 < n; ++i2) {
int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
if (j1 < 0 || j1 >= n || j2 < 0 || j2 >= n || grid[i1][j1] == -1 || grid[i2][j2] == -1) {
continue;
}
int t = grid[i1][j1];
if (i1 != i2) {
t += grid[i2][j2];
}
for (int x1 = i1 - 1; x1 <= i1; ++x1) {
for (int x2 = i2 - 1; x2 <= i2; ++x2) {
if (x1 >= 0 && x2 >= 0) {
f[k][i1][i2] = max(f[k][i1][i2], f[k - 1][x1][x2] + t);
}
}
}
}
}
}
return max(0, f[n * 2 - 2][n - 1][n - 1]);
}
};
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34 | func cherryPickup(grid [][]int) int {
n := len(grid)
f := make([][][]int, (n<<1)-1)
for i := range f {
f[i] = make([][]int, n)
for j := range f[i] {
f[i][j] = make([]int, n)
}
}
f[0][0][0] = grid[0][0]
for k := 1; k < (n<<1)-1; k++ {
for i1 := 0; i1 < n; i1++ {
for i2 := 0; i2 < n; i2++ {
f[k][i1][i2] = int(-1e9)
j1, j2 := k-i1, k-i2
if j1 < 0 || j1 >= n || j2 < 0 || j2 >= n || grid[i1][j1] == -1 || grid[i2][j2] == -1 {
continue
}
t := grid[i1][j1]
if i1 != i2 {
t += grid[i2][j2]
}
for x1 := i1 - 1; x1 <= i1; x1++ {
for x2 := i2 - 1; x2 <= i2; x2++ {
if x1 >= 0 && x2 >= 0 {
f[k][i1][i2] = max(f[k][i1][i2], f[k-1][x1][x2]+t)
}
}
}
}
}
}
return max(0, f[n*2-2][n-1][n-1])
}
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33 | function cherryPickup(grid: number[][]): number {
const n: number = grid.length;
const f: number[][][] = Array.from({ length: n * 2 - 1 }, () =>
Array.from({ length: n }, () => Array.from({ length: n }, () => -Infinity)),
);
f[0][0][0] = grid[0][0];
for (let k = 1; k < n * 2 - 1; ++k) {
for (let i1 = 0; i1 < n; ++i1) {
for (let i2 = 0; i2 < n; ++i2) {
const [j1, j2]: [number, number] = [k - i1, k - i2];
if (
j1 < 0 ||
j1 >= n ||
j2 < 0 ||
j2 >= n ||
grid[i1][j1] == -1 ||
grid[i2][j2] == -1
) {
continue;
}
const t: number = grid[i1][j1] + (i1 != i2 ? grid[i2][j2] : 0);
for (let x1 = i1 - 1; x1 <= i1; ++x1) {
for (let x2 = i2 - 1; x2 <= i2; ++x2) {
if (x1 >= 0 && x2 >= 0) {
f[k][i1][i2] = Math.max(f[k][i1][i2], f[k - 1][x1][x2] + t);
}
}
}
}
}
}
return Math.max(0, f[n * 2 - 2][n - 1][n - 1]);
}
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37 | /**
* @param {number[][]} grid
* @return {number}
*/
var cherryPickup = function (grid) {
const n = grid.length;
const f = Array.from({ length: n * 2 - 1 }, () =>
Array.from({ length: n }, () => Array.from({ length: n }, () => -Infinity)),
);
f[0][0][0] = grid[0][0];
for (let k = 1; k < n * 2 - 1; ++k) {
for (let i1 = 0; i1 < n; ++i1) {
for (let i2 = 0; i2 < n; ++i2) {
const [j1, j2] = [k - i1, k - i2];
if (
j1 < 0 ||
j1 >= n ||
j2 < 0 ||
j2 >= n ||
grid[i1][j1] == -1 ||
grid[i2][j2] == -1
) {
continue;
}
const t = grid[i1][j1] + (i1 != i2 ? grid[i2][j2] : 0);
for (let x1 = i1 - 1; x1 <= i1; ++x1) {
for (let x2 = i2 - 1; x2 <= i2; ++x2) {
if (x1 >= 0 && x2 >= 0) {
f[k][i1][i2] = Math.max(f[k][i1][i2], f[k - 1][x1][x2] + t);
}
}
}
}
}
}
return Math.max(0, f[n * 2 - 2][n - 1][n - 1]);
};
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