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453. 最小操作次数使数组元素相等

题目描述

给你一个长度为 n 的整数数组，每次操作将会使 n - 1 个元素增加 1 。返回让数组所有元素相等的最小操作次数。

 

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：3
解释：
只需要3次操作（注意每次操作会增加两个元素的值）：
[1,2,3]  =>  [2,3,3]  =>  [3,4,3]  =>  [4,4,4]

示例 2：

输入：nums = [1,1,1]
输出：0

 

提示：

  • n == nums.length
  • 1 <= nums.length <= 105
  • -109 <= nums[i] <= 109
  • 答案保证符合 32-bit 整数

解法

方法一：数学

我们不妨记数组 \(\textit{nums}\) 的最小值为 \(\textit{mi}\)，数组的和为 \(\textit{s}\)，数组的长度为 \(\textit{n}\)。

假设最小操作次数为 \(\textit{k}\)，最终数组的所有元素都为 \(\textit{x}\)，则有：

\[ \begin{aligned} \textit{s} + (\textit{n} - 1) \times \textit{k} &= \textit{n} \times \textit{x} \\ \textit{x} &= \textit{mi} + \textit{k} \\ \end{aligned} \]

将第二个式子代入第一个式子，得到：

\[ \begin{aligned} \textit{s} + (\textit{n} - 1) \times \textit{k} &= \textit{n} \times (\textit{mi} + \textit{k}) \\ \textit{s} + (\textit{n} - 1) \times \textit{k} &= \textit{n} \times \textit{mi} + \textit{n} \times \textit{k} \\ \textit{k} &= \textit{s} - \textit{n} \times \textit{mi} \\ \end{aligned} \]

因此，最小操作次数为 \(\textit{s} - \textit{n} \times \textit{mi}\)。

时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(1)\)。其中 \(n\) 为数组的长度。

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class Solution:
    def minMoves(self, nums: List[int]) -> int:
        return sum(nums) - min(nums) * len(nums)

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class Solution {
    public int minMoves(int[] nums) {
        return Arrays.stream(nums).sum() - Arrays.stream(nums).min().getAsInt() * nums.length;
    }
}

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class Solution {
public:
    int minMoves(vector<int>& nums) {
        int s = 0;
        int mi = 1 << 30;
        for (int x : nums) {
            s += x;
            mi = min(mi, x);
        }
        return s - mi * nums.size();
    }
};

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func minMoves(nums []int) int {
    mi := 1 << 30
    s := 0
    for _, x := range nums {
        s += x
        if x < mi {
            mi = x
        }
    }
    return s - mi*len(nums)
}

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function minMoves(nums: number[]): number {
    let mi = 1 << 30;
    let s = 0;
    for (const x of nums) {
        s += x;
        mi = Math.min(mi, x);
    }
    return s - mi * nums.length;
}

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