3296. 移山所需的最少秒数

题目描述

给你一个整数 mountainHeight 表示山的高度。

同时给你一个整数数组 workerTimes，表示工人们的工作时间（单位：秒）。

工人们需要同时进行工作以降低山的高度。对于工人 i :

山的高度降低 x，需要花费 workerTimes[i] + workerTimes[i] * 2 + ... + workerTimes[i] * x 秒。例如：
- 山的高度降低 1，需要 workerTimes[i] 秒。
- 山的高度降低 2，需要 workerTimes[i] + workerTimes[i] * 2 秒，依此类推。

返回一个整数，表示工人们使山的高度降低到 0 所需的最少秒数。

示例 1：

输入： mountainHeight = 4, workerTimes = [2,1,1]

输出： 3

解释：

将山的高度降低到 0 的一种方式是：

工人 0 将高度降低 1，花费 workerTimes[0] = 2 秒。
工人 1 将高度降低 2，花费 workerTimes[1] + workerTimes[1] * 2 = 3 秒。
工人 2 将高度降低 1，花费 workerTimes[2] = 1 秒。

因为工人同时工作，所需的最少时间为 max(2, 3, 1) = 3 秒。

示例 2：

输入： mountainHeight = 10, workerTimes = [3,2,2,4]

输出： 12

解释：

工人 0 将高度降低 2，花费 workerTimes[0] + workerTimes[0] * 2 = 9 秒。
工人 1 将高度降低 3，花费 workerTimes[1] + workerTimes[1] * 2 + workerTimes[1] * 3 = 12 秒。
工人 2 将高度降低 3，花费 workerTimes[2] + workerTimes[2] * 2 + workerTimes[2] * 3 = 12 秒。
工人 3 将高度降低 2，花费 workerTimes[3] + workerTimes[3] * 2 = 12 秒。

所需的最少时间为 max(9, 12, 12, 12) = 12 秒。

示例 3：

输入： mountainHeight = 5, workerTimes = [1]

输出： 15

解释：

这个示例中只有一个工人，所以答案是 workerTimes[0] + workerTimes[0] * 2 + workerTimes[0] * 3 + workerTimes[0] * 4 + workerTimes[0] * 5 = 15 秒。

提示：

1 <= mountainHeight <= 10⁵
1 <= workerTimes.length <= 10⁴
1 <= workerTimes[i] <= 10⁶

解法

方法一：二分查找

我们注意到，如果所有的工人能在 \(t\) 秒内将山的高度降低到 \(0\)，那么对于任意 \(t' > t\)，工人们也能在 \(t'\) 秒内将山的高度降低到 \(0\)。因此，我们可以使用二分查找的方法找到最小的 \(t\)，使得工人们能在 \(t\) 秒内将山的高度降低到 \(0\)。

我们定义一个函数 \(\textit{check}(t)\)，表示工人们能否在 \(t\) 秒内将山的高度降低到 \(0\)。具体地，我们遍历每一个工人，对于当前工人 \(\textit{workerTimes}[i]\)，假设他在 \(t\) 秒内降低了 \(h'\) 的高度，那么我们可以得到一个不等式：

\[ \left(1 + h'\right) \cdot \frac{h'}{2} \cdot \textit{workerTimes}[i] \leq t \]

解不等式得到：

\[ h' \leq \left\lfloor \sqrt{\frac{2t}{\textit{workerTimes}[i]} + \frac{1}{4}} - \frac{1}{2} \right\rfloor \]

我们可以将所有工人的 \(h'\) 相加，得到总共降低的高度 \(h\)，如果 \(h \geq \textit{mountainHeight}\)，那么说明工人们能在 \(t\) 秒内将山的高度降低到 \(0\)。

接下来，我们确定二分查找的左边界 \(l = 1\)，由于最少有一个工作，且每个工人的工作时间不超过 \(10^6\)，要想使山的高度降低到 \(0\)，最少需要 \((1 + \textit{mountainHeight}) \cdot \textit{mountainHeight} / 2 \cdot \textit{workerTimes}[i] \leq 10^{16}\) 秒，因此我们可以确定二分查找的右边界 \(r = 10^{16}\)。然后我们不断地将区间 \([l, r]\) 二分，直到 \(l = r\)，此时 \(l\) 即为答案。

时间复杂度 \(O(n \times \log M)\)，其中 \(n\) 为工人的数量，而 \(M\) 为二分查找的右边界，本题中 \(M = 10^{16}\)。

Python3JavaC++GoTypeScript

class Solution:
    def minNumberOfSeconds(self, mountainHeight: int, workerTimes: List[int]) -> int:
        def check(t: int) -> bool:
            h = 0
            for wt in workerTimes:
                h += int(sqrt(2 * t / wt + 1 / 4) - 1 / 2)
            return h >= mountainHeight

        return bisect_left(range(10**16), True, key=check)

class Solution {
    private int mountainHeight;
    private int[] workerTimes;

    public long minNumberOfSeconds(int mountainHeight, int[] workerTimes) {
        this.mountainHeight = mountainHeight;
        this.workerTimes = workerTimes;
        long l = 1, r = (long) 1e16;
        while (l < r) {
            long mid = (l + r) >> 1;
            if (check(mid)) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        return l;
    }

    private boolean check(long t) {
        long h = 0;
        for (int wt : workerTimes) {
            h += (long) (Math.sqrt(t * 2.0 / wt + 0.25) - 0.5);
        }
        return h >= mountainHeight;
    }
}

class Solution {
public:
    long long minNumberOfSeconds(int mountainHeight, vector<int>& workerTimes) {
        using ll = long long;
        ll l = 1, r = 1e16;
        auto check = [&](ll t) -> bool {
            ll h = 0;
            for (int& wt : workerTimes) {
                h += (long long) (sqrt(t * 2.0 / wt + 0.25) - 0.5);
            }
            return h >= mountainHeight;
        };
        while (l < r) {
            ll mid = (l + r) >> 1;
            if (check(mid)) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        return l;
    }
};

func minNumberOfSeconds(mountainHeight int, workerTimes []int) int64 {
    return int64(sort.Search(1e16, func(t int) bool {
        var h int64
        for _, wt := range workerTimes {
            h += int64(math.Sqrt(float64(t)*2.0/float64(wt)+0.25) - 0.5)
        }
        return h >= int64(mountainHeight)
    }))
}

function minNumberOfSeconds(mountainHeight: number, workerTimes: number[]): number {
    const check = (t: bigint): boolean => {
        let h = BigInt(0);
        for (const wt of workerTimes) {
            h += BigInt(Math.floor(Math.sqrt((Number(t) * 2.0) / wt + 0.25) - 0.5));
        }
        return h >= BigInt(mountainHeight);
    };

    let l = BigInt(1);
    let r = BigInt(1e16);

    while (l < r) {
        const mid = (l + r) >> BigInt(1);
        if (check(mid)) {
            r = mid;
        } else {
            l = mid + 1n;
        }
    }

    return Number(l);
}

3296. 移山所需的最少秒数

题目描述

解法

方法一：二分查找

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