319. 灯泡开关

题目描述

初始时有 n 个灯泡处于关闭状态。第一轮，你将会打开所有灯泡。接下来的第二轮，你将会每两个灯泡关闭第二个。

第三轮，你每三个灯泡就切换第三个灯泡的开关（即，打开变关闭，关闭变打开）。第 i 轮，你每 i 个灯泡就切换第 i 个灯泡的开关。直到第 n 轮，你只需要切换最后一个灯泡的开关。

找出并返回 n 轮后有多少个亮着的灯泡。

示例 1：

输入：n = 3
输出：1 
解释：
初始时, 灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭].
第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启].
第二轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 开启].
第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭]. 

你应该返回 1，因为只有一个灯泡还亮着。

示例 2：

输入：n = 0
输出：0

示例 3：

输入：n = 1
输出：1

提示：

我们不妨将 \(n\) 个灯泡编号为 \(1, 2, 3, \cdots, n\)，那么对于第 \(i\) 个灯泡，它会在第 \(d\) 轮被操作，当且仅当 \(d\) 是 \(i\) 的因子。

对于一个数 \(i\)，它的因子个数是有限的，且因子个数为奇数时，最后的状态是开启的，否则是关闭的。

因此，我们只需要找到 \(1\) 到 \(n\) 中因子个数为奇数的数的个数即可。

对于一个数 \(i\)，如果它有因子 \(d\)，那么它一定有因子 \(i/d\)，因此因子个数为奇数的数一定是平方数。

举个例子，数字 \(12\) 的因子有 \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)，因子个数为 \(6\)，是偶数；而对于数字 \(16\) 这个平方数，因子有 \(1, 2, 4, 8, 16\)，因子个数为 \(5\)，是奇数。

因此，我们只需要找到 \(1\) 到 \(n\) 中有多少个平方数即可，即 \(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)。

时间复杂度 \(O(1)\)，空间复杂度 \(O(1)\)。

Python3JavaC++GoTypeScript

class Solution:
    def bulbSwitch(self, n: int) -> int:
        return int(sqrt(n))

class Solution {
    public int bulbSwitch(int n) {
        return (int) Math.sqrt(n);
    }
}

class Solution {
public:
    int bulbSwitch(int n) {
        return (int) sqrt(n);
    }
};

func bulbSwitch(n int) int {
    return int(math.Sqrt(float64(n)))
}

function bulbSwitch(n: number): number {
    return Math.floor(Math.sqrt(n));
}