3021. Alice 和 Bob 玩鲜花游戏

题目描述

Alice 和 Bob 在一个长满鲜花的环形草地玩一个回合制游戏。环形的草地上有一些鲜花，Alice 到 Bob 之间顺时针有 x 朵鲜花，逆时针有 y 朵鲜花。

游戏过程如下：

Alice 先行动。
每一次行动中，当前玩家必须选择顺时针或者逆时针，然后在这个方向上摘一朵鲜花。
一次行动结束后，如果所有鲜花都被摘完了，那么当前玩家抓住对手并赢得游戏的胜利。

给你两个整数 n 和 m ，你的任务是求出满足以下条件的所有 (x, y) 对：

按照上述规则，Alice 必须赢得游戏。
Alice 顺时针方向上的鲜花数目 x 必须在区间 [1,n] 之间。
Alice 逆时针方向上的鲜花数目 y 必须在区间 [1,m] 之间。

请你返回满足题目描述的数对 (x, y) 的数目。

示例 1：

输入：n = 3, m = 2
输出：3
解释：以下数对满足题目要求：(1,2) ，(3,2) ，(2,1) 。

示例 2：

输入：n = 1, m = 1
输出：0
解释：没有数对满足题目要求。

提示：

1 <= n, m <= 10⁵

解法

方法一：数学

根据题目描述，每一次行动，玩家都会选择顺时针或者逆时针方向，然后摘一朵鲜花。由于 Alice 先行动，因此当 \(x + y\) 为奇数时，Alice 一定会赢得游戏。

因此，鲜花数目 \(x\) 和 \(y\) 满足以下条件：

\(x + y\) 为奇数；
\(1 \le x \le n\)；
\(1 \le y \le m\)。

若 \(x\) 为奇数，\(y\) 一定为偶数。此时 \(x\) 的取值个数为 \(\lceil \frac{n}{2} \rceil\)，\(y\) 的取值个数为 \(\lfloor \frac{m}{2} \rfloor\)，因此满足条件的数对个数为 \(\lceil \frac{n}{2} \rceil \times \lfloor \frac{m}{2} \rfloor\)。

若 \(x\) 为偶数，\(y\) 一定为奇数。此时 \(x\) 的取值个数为 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)，\(y\) 的取值个数为 \(\lceil \frac{m}{2} \rceil\)，因此满足条件的数对个数为 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \times \lceil \frac{m}{2} \rceil\)。

因此，满足条件的数对个数为 \(\lceil \frac{n}{2} \rceil \times \lfloor \frac{m}{2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \times \lceil \frac{m}{2} \rceil\)，即 \(\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \times \lfloor \frac{m + 1}{2} \rfloor\)。

时间复杂度 \(O(1)\)，空间复杂度 \(O(1)\)。

Python3JavaC++GoTypeScript

class Solution:
    def flowerGame(self, n: int, m: int) -> int:
        a1 = (n + 1) // 2
        b1 = (m + 1) // 2
        a2 = n // 2
        b2 = m // 2
        return a1 * b2 + a2 * b1

class Solution {
    public long flowerGame(int n, int m) {
        long a1 = (n + 1) / 2;
        long b1 = (m + 1) / 2;
        long a2 = n / 2;
        long b2 = m / 2;
        return a1 * b2 + a2 * b1;
    }
}

class Solution {
public:
    long long flowerGame(int n, int m) {
        long long a1 = (n + 1) / 2;
        long long b1 = (m + 1) / 2;
        long long a2 = n / 2;
        long long b2 = m / 2;
        return a1 * b2 + a2 * b1;
    }
};

func flowerGame(n int, m int) int64 {
    a1, b1 := (n+1)/2, (m+1)/2
    a2, b2 := n/2, m/2
    return int64(a1*b2 + a2*b1)
}

function flowerGame(n: number, m: number): number {
    const [a1, b1] = [(n + 1) >> 1, (m + 1) >> 1];
    const [a2, b2] = [n >> 1, m >> 1];
    return a1 * b2 + a2 * b1;
}

方法二：数学（优化）

方法一得出的结果为 \(\lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \times \lfloor \frac{m + 1}{2} \rfloor\)。

如果 \(n\) 和 \(m\) 都是奇数，那么结果为 \(\frac{n + 1}{2} \times \frac{m - 1}{2} + \frac{n - 1}{2} \times \frac{m + 1}{2}\)，即 \(\frac{n \times m - 1}{2}\)。

如果 \(n\) 和 \(m\) 都是偶数，那么结果为 \(\frac{n}{2} \times \frac{m}{2} + \frac{n}{2} \times \frac{m}{2}\)，即 \(\frac{n \times m}{2}\)。

如果 \(n\) 是奇数，且 \(m\) 是偶数，那么结果为 \(\frac{n + 1}{2} \times \frac{m}{2} + \frac{n - 1}{2} \times \frac{m}{2}\)，即 \(\frac{n \times m}{2}\)。

如果 \(n\) 是偶数，且 \(m\) 是奇数，那么结果为 \(\frac{n}{2} \times \frac{m - 1}{2} + \frac{n}{2} \times \frac{m + 1}{2}\)，即 \(\frac{n \times m}{2}\)。

上面四种情况可以合并为 \(\lfloor \frac{n \times m}{2} \rfloor\)。