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2872. 可以被 K 整除连通块的最大数目

题目描述

给你一棵 n 个节点的无向树，节点编号为 0 到 n - 1 。给你整数 n 和一个长度为 n - 1 的二维整数数组 edges ，其中 edges[i] = [ai, bi] 表示树中节点 ai 和 bi 有一条边。

同时给你一个下标从 0 开始长度为 n 的整数数组 values ，其中 values[i] 是第 i 个节点的 值 。再给你一个整数 k 。

你可以从树中删除一些边，也可以一条边也不删，得到若干连通块。一个 连通块的值 定义为连通块中所有节点值之和。如果所有连通块的值都可以被 k 整除，那么我们说这是一个 合法分割 。

请你返回所有合法分割中，连通块数目的最大值 。

 

示例 1：

输入：n = 5, edges = [[0,2],[1,2],[1,3],[2,4]], values = [1,8,1,4,4], k = 6
输出：2
解释：我们删除节点 1 和 2 之间的边。这是一个合法分割，因为：
- 节点 1 和 3 所在连通块的值为 values[1] + values[3] = 12 。
- 节点 0 ，2 和 4 所在连通块的值为 values[0] + values[2] + values[4] = 6 。
最多可以得到 2 个连通块的合法分割。

示例 2：

输入：n = 7, edges = [[0,1],[0,2],[1,3],[1,4],[2,5],[2,6]], values = [3,0,6,1,5,2,1], k = 3
输出：3
解释：我们删除节点 0 和 2 ，以及节点 0 和 1 之间的边。这是一个合法分割，因为：
- 节点 0 的连通块的值为 values[0] = 3 。
- 节点 2 ，5 和 6 所在连通块的值为 values[2] + values[5] + values[6] = 9 。
- 节点 1 ，3 和 4 的连通块的值为 values[1] + values[3] + values[4] = 6 。
最多可以得到 3 个连通块的合法分割。

 

提示：

  • 1 <= n <= 3 * 104
  • edges.length == n - 1
  • edges[i].length == 2
  • 0 <= ai, bi < n
  • values.length == n
  • 0 <= values[i] <= 109
  • 1 <= k <= 109
  • values 之和可以被 k 整除。
  • 输入保证 edges 是一棵无向树。

解法

方法一：DFS

我们注意到，题目保证了整棵树的节点值之和可以被 $k$ 整除，因此，如果我们删除一棵元素和能被 $k$ 整除的边，那么剩下的每个连通块的节点值之和也一定可以被 $k$ 整除。

因此，我们可以使用深度优先搜索的方法，从根节点开始遍历整棵树，对于每个节点，我们计算其子树中所有节点值之和，如果该和能被 $k$ 整除，那么我们就将答案加一。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是树中的节点数。

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class Solution:
    def maxKDivisibleComponents(
        self, n: int, edges: List[List[int]], values: List[int], k: int
    ) -> int:
        def dfs(i: int, fa: int) -> int:
            s = values[i]
            for j in g[i]:
                if j != fa:
                    s += dfs(j, i)
            nonlocal ans
            ans += s % k == 0
            return s

        g = [[] for _ in range(n)]
        for a, b in edges:
            g[a].append(b)
            g[b].append(a)
        ans = 0
        dfs(0, -1)
        return ans

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class Solution {
    private int ans;
    private List<Integer>[] g;
    private int[] values;
    private int k;

    public int maxKDivisibleComponents(int n, int[][] edges, int[] values, int k) {
        g = new List[n];
        Arrays.setAll(g, i -> new ArrayList<>());
        for (int[] e : edges) {
            int a = e[0], b = e[1];
            g[a].add(b);
            g[b].add(a);
        }
        this.values = values;
        this.k = k;
        dfs(0, -1);
        return ans;
    }

    private long dfs(int i, int fa) {
        long s = values[i];
        for (int j : g[i]) {
            if (j != fa) {
                s += dfs(j, i);
            }
        }
        ans += s % k == 0 ? 1 : 0;
        return s;
    }
}

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class Solution {
public:
    int maxKDivisibleComponents(int n, vector<vector<int>>& edges, vector<int>& values, int k) {
        int ans = 0;
        vector<int> g[n];
        for (auto& e : edges) {
            int a = e[0], b = e[1];
            g[a].push_back(b);
            g[b].push_back(a);
        }
        function<long long(int, int)> dfs = [&](int i, int fa) {
            long long s = values[i];
            for (int j : g[i]) {
                if (j != fa) {
                    s += dfs(j, i);
                }
            }
            ans += s % k == 0;
            return s;
        };
        dfs(0, -1);
        return ans;
    }
};

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func maxKDivisibleComponents(n int, edges [][]int, values []int, k int) (ans int) {
    g := make([][]int, n)
    for _, e := range edges {
        a, b := e[0], e[1]
        g[a] = append(g[a], b)
        g[b] = append(g[b], a)
    }
    var dfs func(int, int) int
    dfs = func(i, fa int) int {
        s := values[i]
        for _, j := range g[i] {
            if j != fa {
                s += dfs(j, i)
            }
        }
        if s%k == 0 {
            ans++
        }
        return s
    }
    dfs(0, -1)
    return
}

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function maxKDivisibleComponents(
    n: number,
    edges: number[][],
    values: number[],
    k: number,
): number {
    const g: number[][] = Array.from({ length: n }, () => []);
    for (const [a, b] of edges) {
        g[a].push(b);
        g[b].push(a);
    }
    let ans = 0;
    const dfs = (i: number, fa: number): number => {
        let s = values[i];
        for (const j of g[i]) {
            if (j !== fa) {
                s += dfs(j, i);
            }
        }
        if (s % k === 0) {
            ++ans;
        }
        return s;
    };
    dfs(0, -1);
    return ans;
}

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