2485. 找出中枢整数

题目描述

给你一个正整数 n ，找出满足下述条件的 中枢整数 x ：

1 和 x 之间的所有元素之和等于 x 和 n 之间所有元素之和。

返回中枢整数 x 。如果不存在中枢整数，则返回 -1 。题目保证对于给定的输入，至多存在一个中枢整数。

示例 1：

输入：n = 8
输出：6
解释：6 是中枢整数，因为 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6 + 7 + 8 = 21 。

示例 2：

输入：n = 1
输出：1
解释：1 是中枢整数，因为 1 = 1 。

示例 3：

输入：n = 4
输出：-1
解释：可以证明不存在满足题目要求的整数。

提示：

1 <= n <= 1000

解法

方法一：枚举

我们可以直接在 \([1,..n]\) 的范围内枚举 \(x\)，判断以下等式是否成立。若成立，则 \(x\) 为中枢整数，直接返回 \(x\) 即可。

\[ (1 + x) \times x = (x + n) \times (n - x + 1) \]

时间复杂度 \(O(n)\)，其中 \(n\) 为给定的正整数 \(n\)。空间复杂度 \(O(1)\)。

Python3JavaC++GoTypeScriptRustPHP

class Solution:
    def pivotInteger(self, n: int) -> int:
        for x in range(1, n + 1):
            if (1 + x) * x == (x + n) * (n - x + 1):
                return x
        return -1

class Solution {
    public int pivotInteger(int n) {
        for (int x = 1; x <= n; ++x) {
            if ((1 + x) * x == (x + n) * (n - x + 1)) {
                return x;
            }
        }
        return -1;
    }
}

class Solution {
public:
    int pivotInteger(int n) {
        for (int x = 1; x <= n; ++x) {
            if ((1 + x) * x == (x + n) * (n - x + 1)) {
                return x;
            }
        }
        return -1;
    }
};

func pivotInteger(n int) int {
    for x := 1; x <= n; x++ {
        if (1+x)*x == (x+n)*(n-x+1) {
            return x
        }
    }
    return -1
}

function pivotInteger(n: number): number {
    for (let x = 1; x <= n; ++x) {
        if ((1 + x) * x === (x + n) * (n - x + 1)) {
            return x;
        }
    }
    return -1;
}

impl Solution {
    pub fn pivot_integer(n: i32) -> i32 {
        let y = (n * (n + 1)) / 2;
        let x = (y as f64).sqrt() as i32;

        if x * x == y {
            return x;
        }

        -1
    }
}

class Solution {
    /**
     * @param Integer $n
     * @return Integer
     */
    function pivotInteger($n) {
        $sum = ($n * ($n + 1)) / 2;
        $pre = 0;
        for ($i = 1; $i <= $n; $i++) {
            if ($pre + $i === $sum - $pre) {
                return $i;
            }
            $pre += $i;
        }
        return -1;
    }
}

方法二：数学

我们可以将上述等式进行变形，得到：

\[ n \times (n + 1) = 2 \times x^2 \]

即：

\[ x = \sqrt{\frac{n \times (n + 1)}{2}} \]

如果 \(x\) 为整数，则 \(x\) 为中枢整数，否则不存在中枢整数。

时间复杂度 \(O(1)\)，空间复杂度 \(O(1)\)。

Python3JavaC++GoTypeScript

class Solution:
    def pivotInteger(self, n: int) -> int:
        y = n * (n + 1) // 2
        x = int(sqrt(y))
        return x if x * x == y else -1

class Solution {
    public int pivotInteger(int n) {
        int y = n * (n + 1) / 2;
        int x = (int) Math.sqrt(y);
        return x * x == y ? x : -1;
    }
}

class Solution {
public:
    int pivotInteger(int n) {
        int y = n * (n + 1) / 2;
        int x = sqrt(y);
        return x * x == y ? x : -1;
    }
};

func pivotInteger(n int) int {
    y := n * (n + 1) / 2
    x := int(math.Sqrt(float64(y)))
    if x*x == y {
        return x
    }
    return -1
}

function pivotInteger(n: number): number {
    const y = Math.floor((n * (n + 1)) / 2);
    const x = Math.floor(Math.sqrt(y));
    return x * x === y ? x : -1;
}

2485. 找出中枢整数

题目描述

解法

方法一：枚举

方法二：数学

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