题目描述
如果一个正整数每一个数位都是 互不相同 的，我们称它是 特殊整数 。
给你一个 正 整数 n ，请你返回区间 [1, n] 之间特殊整数的数目。
示例 1：
输入：n = 20
输出：19
解释：1 到 20 之间所有整数除了 11 以外都是特殊整数。所以总共有 19 个特殊整数。
示例 2：
输入：n = 5
输出：5
解释：1 到 5 所有整数都是特殊整数。
示例 3：
输入：n = 135
输出：110
解释：从 1 到 135 总共有 110 个整数是特殊整数。
不特殊的部分数字为：22 ，114 和 131 。
提示：
解法
方法一：状态压缩 + 数位 DP
这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中，满足条件的数的个数。条件与数的大小无关，而只与数的组成有关，因此可以使用数位 DP 的思想求解。数位 DP 中，数的大小对复杂度的影响很小。
对于区间 $[l,..r]$ 问题，我们一般会将其转化为 $[1,..r]$ 然后再减去 $[1,..l - 1]$ 的问题，即：
$$
ans = \sum_{i=1}^{r} ans_i - \sum_{i=1}^{l-1} ans_i
$$
不过对于本题而言，我们只需要求出区间 $[1,..n]$ 的值即可。
这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终的答案。
我们根据题目信息，设计一个函数 $\textit{dfs}(i, \textit{mask}, \textit{lead}, \textit{limit})$，其中：
- 数字 $i$ 表示当前搜索到的位置，我们从高位开始搜索，即 $i = 0$ 表示最高位。
- 数字 $\textit{mask}$ 表示当前数字的状态，即 $\textit{mask}$ 的第 $j$ 位为 $1$ 表示数字 $j$ 已经被使用过。
- 布尔值 $\textit{lead}$ 表示当前是否只包含前导 $0$。
- 布尔值 $\textit{limit}$ 表示当前是否受到上界的限制。
函数的执行过程如下：
如果 $i$ 超过了数字 $n$ 的长度，说明搜索结束，如果此时 $\textit{lead}$ 为真，说明当前数字只包含前导 $0$，直接返回 $0$，否则返回 $1$。
如果 $\textit{limit}$ 为假且 $\textit{lead}$ 为假且 $\textit{mask}$ 的状态已经被记忆化，直接返回记忆化的结果。
否则，我们计算当前数字的上界 $up$，如果 $\textit{limit}$ 为真，$up$ 为当前数字的第 $i$ 位，否则 $up = 9$。
然后我们遍历 $[0, up]$，对于每个数字 $j$，如果 $\textit{mask}$ 的第 $j$ 位为 $1$，说明数字 $j$ 已经被使用过，直接跳过。否则，如果 $\textit{lead}$ 为真且 $j = 0$，说明当前数字只包含前导 $0$，递归搜索下一位，否则递归搜索下一位并更新 $\textit{mask}$ 的状态。
最后，如果 $\textit{limit}$ 为假且 $\textit{lead}$ 为假，将当前状态记忆化。
最终返回答案。
时间复杂度 $O(m \times 2^D \times D)$，空间复杂度 $O(m \times 2^D)$。其中 $m$ 为数字 $n$ 的长度，而 $D = 10$。
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19 | class Solution:
def countSpecialNumbers(self, n: int) -> int:
@cache
def dfs(i: int, mask: int, lead: bool, limit: bool) -> int:
if i >= len(s):
return int(lead ^ 1)
up = int(s[i]) if limit else 9
ans = 0
for j in range(up + 1):
if mask >> j & 1:
continue
if lead and j == 0:
ans += dfs(i + 1, mask, True, limit and j == up)
else:
ans += dfs(i + 1, mask | 1 << j, False, limit and j == up)
return ans
s = str(n)
return dfs(0, 0, True, True)
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35 | class Solution {
private char[] s;
private Integer[][] f;
public int countSpecialNumbers(int n) {
s = String.valueOf(n).toCharArray();
f = new Integer[s.length][1 << 10];
return dfs(0, 0, true, true);
}
private int dfs(int i, int mask, boolean lead, boolean limit) {
if (i >= s.length) {
return lead ? 0 : 1;
}
if (!limit && !lead && f[i][mask] != null) {
return f[i][mask];
}
int up = limit ? s[i] - '0' : 9;
int ans = 0;
for (int j = 0; j <= up; ++j) {
if ((mask >> j & 1) == 1) {
continue;
}
if (lead && j == 0) {
ans += dfs(i + 1, mask, true, limit && j == up);
} else {
ans += dfs(i + 1, mask | (1 << j), false, limit && j == up);
}
}
if (!limit && !lead) {
f[i][mask] = ans;
}
return ans;
}
}
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34 | class Solution {
public:
int countSpecialNumbers(int n) {
string s = to_string(n);
int m = s.size();
int f[m][1 << 10];
memset(f, -1, sizeof(f));
auto dfs = [&](auto&& dfs, int i, int mask, bool lead, bool limit) -> int {
if (i >= m) {
return lead ^ 1;
}
if (!limit && !lead && f[i][mask] != -1) {
return f[i][mask];
}
int up = limit ? s[i] - '0' : 9;
int ans = 0;
for (int j = 0; j <= up; ++j) {
if (mask >> j & 1) {
continue;
}
if (lead && j == 0) {
ans += dfs(dfs, i + 1, mask, true, limit && j == up);
} else {
ans += dfs(dfs, i + 1, mask | (1 << j), false, limit && j == up);
}
}
if (!limit && !lead) {
f[i][mask] = ans;
}
return ans;
};
return dfs(dfs, 0, 0, true, true);
}
};
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42 | func countSpecialNumbers(n int) int {
s := strconv.Itoa(n)
m := len(s)
f := make([][1 << 10]int, m+1)
for i := range f {
for j := range f[i] {
f[i][j] = -1
}
}
var dfs func(int, int, bool, bool) int
dfs = func(i, mask int, lead, limit bool) int {
if i >= m {
if lead {
return 0
}
return 1
}
if !limit && !lead && f[i][mask] != -1 {
return f[i][mask]
}
up := 9
if limit {
up = int(s[i] - '0')
}
ans := 0
for j := 0; j <= up; j++ {
if mask>>j&1 == 1 {
continue
}
if lead && j == 0 {
ans += dfs(i+1, mask, true, limit && j == up)
} else {
ans += dfs(i+1, mask|1<<j, false, limit && j == up)
}
}
if !limit && !lead {
f[i][mask] = ans
}
return ans
}
return dfs(0, 0, true, true)
}
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30 | function countSpecialNumbers(n: number): number {
const s = n.toString();
const m = s.length;
const f: number[][] = Array.from({ length: m }, () => Array(1 << 10).fill(-1));
const dfs = (i: number, mask: number, lead: boolean, limit: boolean): number => {
if (i >= m) {
return lead ? 0 : 1;
}
if (!limit && !lead && f[i][mask] !== -1) {
return f[i][mask];
}
const up = limit ? +s[i] : 9;
let ans = 0;
for (let j = 0; j <= up; ++j) {
if ((mask >> j) & 1) {
continue;
}
if (lead && j === 0) {
ans += dfs(i + 1, mask, true, limit && j === up);
} else {
ans += dfs(i + 1, mask | (1 << j), false, limit && j === up);
}
}
if (!limit && !lead) {
f[i][mask] = ans;
}
return ans;
};
return dfs(0, 0, true, true);
}
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