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2366. 将数组排序的最少替换次数

题目描述

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 。每次操作中，你可以将数组中任何一个元素替换为 任意两个 和为该元素的数字。

  • 比方说，nums = [5,6,7] 。一次操作中，我们可以将 nums[1] 替换成 2 和 4 ，将 nums 转变成 [5,2,4,7] 。

请你执行上述操作，将数组变成元素按 非递减 顺序排列的数组，并返回所需的最少操作次数。

 

示例 1：

输入：nums = [3,9,3]
输出：2
解释：以下是将数组变成非递减顺序的步骤：
- [3,9,3] ，将9 变成 3 和 6 ，得到数组 [3,3,6,3] 
- [3,3,6,3] ，将 6 变成 3 和 3 ，得到数组 [3,3,3,3,3] 
总共需要 2 步将数组变成非递减有序，所以我们返回 2 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,4,5]
输出：0
解释：数组已经是非递减顺序，所以我们返回 0 。

 

提示：

  • 1 <= nums.length <= 105
  • 1 <= nums[i] <= 109

解法

方法一：贪心

我们观察发现，要使得数组 \(nums\) 变成非递减有序，也即单调递增，那么数组后面的元素应该尽可能大，所以，将数组 \(nums\) 的最后一个元素 \(nums[n-1]\) 替换成多个更小的数是没有必要的。

也即是说，我们可以从后往前遍历数组 \(nums\)，并且维护当前的最大值 \(mx\)，初始时 \(mx = nums[n-1]\)。

  • 若当前遍历到的元素 \(nums[i] \leq mx\)，此时不需要将 \(nums[i]\) 进行替换，我们直接更新 \(mx = nums[i]\) 即可。
  • 否则，我们需要将 \(nums[i]\) 替换成多个和为 \(nums[i]\) 的数，这些数的最大值为 \(mx\)，总共替换成 \(k=\left \lceil \frac{nums[i]}{mx} \right \rceil\) 个数，所以需要进行 \(k-1\) 次操作，累加到答案中。这 \(k\) 个数中，最小的数为 \(\left \lfloor \frac{nums[i]}{k} \right \rfloor\)，因此，我们更新 \(mx = \left \lfloor \frac{nums[i]}{k} \right \rfloor\)。

遍历结束，返回总的操作次数即可。

时间复杂度 \(O(n)\)，其中 \(n\) 为数组 \(nums\) 的长度。空间复杂度 \(O(1)\)。

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class Solution:
    def minimumReplacement(self, nums: List[int]) -> int:
        ans = 0
        n = len(nums)
        mx = nums[-1]
        for i in range(n - 2, -1, -1):
            if nums[i] <= mx:
                mx = nums[i]
                continue
            k = (nums[i] + mx - 1) // mx
            ans += k - 1
            mx = nums[i] // k
        return ans

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class Solution {
    public long minimumReplacement(int[] nums) {
        long ans = 0;
        int n = nums.length;
        int mx = nums[n - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            if (nums[i] <= mx) {
                mx = nums[i];
                continue;
            }
            int k = (nums[i] + mx - 1) / mx;
            ans += k - 1;
            mx = nums[i] / k;
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    long long minimumReplacement(vector<int>& nums) {
        long long ans = 0;
        int n = nums.size();
        int mx = nums[n - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            if (nums[i] <= mx) {
                mx = nums[i];
                continue;
            }
            int k = (nums[i] + mx - 1) / mx;
            ans += k - 1;
            mx = nums[i] / k;
        }
        return ans;
    }
};

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func minimumReplacement(nums []int) (ans int64) {
    n := len(nums)
    mx := nums[n-1]
    for i := n - 2; i >= 0; i-- {
        if nums[i] <= mx {
            mx = nums[i]
            continue
        }
        k := (nums[i] + mx - 1) / mx
        ans += int64(k - 1)
        mx = nums[i] / k
    }
    return
}

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function minimumReplacement(nums: number[]): number {
    const n = nums.length;
    let mx = nums[n - 1];
    let ans = 0;
    for (let i = n - 2; i >= 0; --i) {
        if (nums[i] <= mx) {
            mx = nums[i];
            continue;
        }
        const k = Math.ceil(nums[i] / mx);
        ans += k - 1;
        mx = Math.floor(nums[i] / k);
    }
    return ans;
}

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impl Solution {
    #[allow(dead_code)]
    pub fn minimum_replacement(nums: Vec<i32>) -> i64 {
        if nums.len() == 1 {
            return 0;
        }

        let n = nums.len();
        let mut max = *nums.last().unwrap();
        let mut ret = 0;

        for i in (0..=n - 2).rev() {
            if nums[i] <= max {
                max = nums[i];
                continue;
            }
            // Otherwise make the substitution
            let k = (nums[i] + max - 1) / max;
            ret += (k - 1) as i64;
            // Update the max value, which should be the minimum among the substitution
            max = nums[i] / k;
        }

        ret
    }
}

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