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2093. 前往目标城市的最小费用 🔒

题目描述

一组公路连接 n 个城市，城市编号为从 0 到 n - 1 。 输入包含一个二维数组 highways ，其中 highways[i] = [city1i, city2i, tolli] 表示有一条连接城市 city1i 和 city2i 的双向公路，允许汽车缴纳值为 tolli 的费用从  city1i 前往 city2i 或 从  city2i 前往 city1i 。

另给你一个整数 discounts 表示你最多可以使用折扣的次数。你可以使用一次折扣使通过第 ith 条公路的费用降低至 tolli / 2（向下取整）。 最多只可使用 discounts 次折扣， 且 每条公路最多只可使用一次折扣 。

返回从城市0 前往城市 n - 1 的 最小费用 。如果不存在从城市0 前往城市 n - 1 的路径，返回 -1 。

 

示例 1：

输入：n = 5, highways = [[0,1,4],[2,1,3],[1,4,11],[3,2,3],[3,4,2]], discounts = 1
输出：9
解释：
从 0 前往 1 ，需要费用为 4 。
从 1 前往 4 并使用一次折扣，需要费用为 11 / 2 = 5 。
从 0 前往 4 最小费用为 4 + 5 = 9 。

示例 2：

输入：n = 4, highways = [[1,3,17],[1,2,7],[3,2,5],[0,1,6],[3,0,20]], discounts = 20
输出：8
解释：
从 0 前往 1 并使用一次折扣，需要费用为 6 / 2 = 3 。
从 1 前往 2 并使用一次折扣，需要费用为 7 / 2 = 3 。
从 2 前往 3 并使用一次折扣，需要费用为 5 / 2 = 2 。
从 0 前往 3 最小费用为 3 + 3 + 2 = 8 。

示例 3：

输入：n = 4, highways = [[0,1,3],[2,3,2]], discounts = 0
输出：-1
解释：
不存在从 0 前往 3 的路径，所以返回 -1 。

 

提示:

  • 2 <= n <= 1000
  • 1 <= highways.length <= 1000
  • highways[i].length == 3
  • 0 <= city1i, city2i <= n - 1
  • city1i != city2i
  • 0 <= tolli <= 105
  • 0 <= discounts <= 500
  • 任意两个城市之间最多只有一条公路相连

解法

方法一：BFS

本题属于带限制的单源最短路问题。

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class Solution:
    def minimumCost(self, n: int, highways: List[List[int]], discounts: int) -> int:
        g = defaultdict(list)
        for a, b, c in highways:
            g[a].append((b, c))
            g[b].append((a, c))
        q = [(0, 0, 0)]
        dist = [[inf] * (discounts + 1) for _ in range(n)]
        while q:
            cost, i, k = heappop(q)
            if k > discounts:
                continue
            if i == n - 1:
                return cost
            if dist[i][k] > cost:
                dist[i][k] = cost
                for j, v in g[i]:
                    heappush(q, (cost + v, j, k))
                    heappush(q, (cost + v // 2, j, k + 1))
        return -1

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class Solution {
    public int minimumCost(int n, int[][] highways, int discounts) {
        List<int[]>[] g = new List[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            g[i] = new ArrayList<>();
        }
        for (var e : highways) {
            int a = e[0], b = e[1], c = e[2];
            g[a].add(new int[] {b, c});
            g[b].add(new int[] {a, c});
        }
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a, b) -> a[0] - b[0]);
        q.offer(new int[] {0, 0, 0});
        int[][] dist = new int[n][discounts + 1];
        for (var e : dist) {
            Arrays.fill(e, Integer.MAX_VALUE);
        }
        while (!q.isEmpty()) {
            var p = q.poll();
            int cost = p[0], i = p[1], k = p[2];
            if (k > discounts || dist[i][k] <= cost) {
                continue;
            }
            if (i == n - 1) {
                return cost;
            }
            dist[i][k] = cost;
            for (int[] nxt : g[i]) {
                int j = nxt[0], v = nxt[1];
                q.offer(new int[] {cost + v, j, k});
                q.offer(new int[] {cost + v / 2, j, k + 1});
            }
        }
        return -1;
    }
}

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class Solution {
public:
    int minimumCost(int n, vector<vector<int>>& highways, int discounts) {
        vector<vector<pair<int, int>>> g(n);
        for (auto& e : highways) {
            int a = e[0], b = e[1], c = e[2];
            g[a].push_back({b, c});
            g[b].push_back({a, c});
        }
        priority_queue<tuple<int, int, int>, vector<tuple<int, int, int>>, greater<tuple<int, int, int>>> q;
        q.push({0, 0, 0});
        vector<vector<int>> dist(n, vector<int>(discounts + 1, INT_MAX));
        while (!q.empty()) {
            auto [cost, i, k] = q.top();
            q.pop();
            if (k > discounts || dist[i][k] <= cost) continue;
            if (i == n - 1) return cost;
            dist[i][k] = cost;
            for (auto [j, v] : g[i]) {
                q.push({cost + v, j, k});
                q.push({cost + v / 2, j, k + 1});
            }
        }
        return -1;
    }
};

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