1863. 找出所有子集的异或总和再求和
题目描述
一个数组的 异或总和 定义为数组中所有元素按位 XOR
的结果;如果数组为 空 ,则异或总和为 0
。
- 例如,数组
[2,5,6]
的 异或总和 为2 XOR 5 XOR 6 = 1
。
给你一个数组 nums
,请你求出 nums
中每个 子集 的 异或总和 ,计算并返回这些值相加之 和 。
注意:在本题中,元素 相同 的不同子集应 多次 计数。
数组 a
是数组 b
的一个 子集 的前提条件是:从 b
删除几个(也可能不删除)元素能够得到 a
。
示例 1:
输入:nums = [1,3] 输出:6 解释:[1,3] 共有 4 个子集: - 空子集的异或总和是 0 。 - [1] 的异或总和为 1 。 - [3] 的异或总和为 3 。 - [1,3] 的异或总和为 1 XOR 3 = 2 。 0 + 1 + 3 + 2 = 6
示例 2:
输入:nums = [5,1,6] 输出:28 解释:[5,1,6] 共有 8 个子集: - 空子集的异或总和是 0 。 - [5] 的异或总和为 5 。 - [1] 的异或总和为 1 。 - [6] 的异或总和为 6 。 - [5,1] 的异或总和为 5 XOR 1 = 4 。 - [5,6] 的异或总和为 5 XOR 6 = 3 。 - [1,6] 的异或总和为 1 XOR 6 = 7 。 - [5,1,6] 的异或总和为 5 XOR 1 XOR 6 = 2 。 0 + 5 + 1 + 6 + 4 + 3 + 7 + 2 = 28
示例 3:
输入:nums = [3,4,5,6,7,8] 输出:480 解释:每个子集的全部异或总和值之和为 480 。
提示:
1 <= nums.length <= 12
1 <= nums[i] <= 20
解法
方法一:二进制枚举
我们可以用二进制枚举的方法,枚举出所有的子集,然后计算每个子集的异或总和。
具体地,我们在 $[0, 2^n)$ 的范围内枚举 $i$,其中 $n$ 是数组 $nums$ 的长度。如果 $i$ 的二进制表示的第 $j$ 位为 $1$,那么代表着 $nums$ 的第 $j$ 个元素在当前枚举的子集中;如果第 $j$ 位为 $0$,那么代表着 $nums$ 的第 $j$ 个元素不在当前枚举的子集中。我们可以根据 $i$ 的二进制表示,得到当前子集对应的异或总和,将其加到答案中即可。
时间复杂度 $O(n \times 2^n)$,其中 $n$ 是数组 $nums$ 的长度。空间复杂度 $O(1)$。
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方法二:DFS
我们也可以使用深度优先搜索的方法,枚举出所有的子集,然后计算每个子集的异或总和。
我们设计一个函数 $dfs(i, s)$,其中 $i$ 表示当前搜索到数组 $nums$ 的第 $i$ 个元素,$s$ 表示当前子集的异或总和。初始时,$i=0$, $s=0$。在搜索的过程中,每次我们都有两种选择:
- 将 $nums$ 的第 $i$ 个元素加入当前子集,即 $dfs(i+1, s \oplus nums[i])$;
- 将 $nums$ 的第 $i$ 个元素不加入当前子集,即 $dfs(i+1, s)$。
当我们搜索完数组 $nums$ 的所有元素时,即 $i=n$ 时,当前子集的异或总和为 $s$,将其加到答案中即可。
时间复杂度 $O(2^n)$,空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是数组 $nums$ 的长度。
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