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1690. 石子游戏 VII

题目描述

石子游戏中，爱丽丝和鲍勃轮流进行自己的回合，爱丽丝先开始 。

有 n 块石子排成一排。每个玩家的回合中，可以从行中 移除 最左边的石头或最右边的石头，并获得与该行中剩余石头值之 和 相等的得分。当没有石头可移除时，得分较高者获胜。

鲍勃发现他总是输掉游戏（可怜的鲍勃，他总是输），所以他决定尽力 减小得分的差值 。爱丽丝的目标是最大限度地 扩大得分的差值 。

给你一个整数数组 stones ，其中 stones[i] 表示 从左边开始 的第 i 个石头的值，如果爱丽丝和鲍勃都 发挥出最佳水平 ，请返回他们 得分的差值 。

 

示例 1：

输入：stones = [5,3,1,4,2]
输出：6
解释：
- 爱丽丝移除 2 ，得分 5 + 3 + 1 + 4 = 13 。游戏情况：爱丽丝 = 13 ，鲍勃 = 0 ，石子 = [5,3,1,4] 。
- 鲍勃移除 5 ，得分 3 + 1 + 4 = 8 。游戏情况：爱丽丝 = 13 ，鲍勃 = 8 ，石子 = [3,1,4] 。
- 爱丽丝移除 3 ，得分 1 + 4 = 5 。游戏情况：爱丽丝 = 18 ，鲍勃 = 8 ，石子 = [1,4] 。
- 鲍勃移除 1 ，得分 4 。游戏情况：爱丽丝 = 18 ，鲍勃 = 12 ，石子 = [4] 。
- 爱丽丝移除 4 ，得分 0 。游戏情况：爱丽丝 = 18 ，鲍勃 = 12 ，石子 = [] 。
得分的差值 18 - 12 = 6 。

示例 2：

输入：stones = [7,90,5,1,100,10,10,2]
输出：122

 

提示：

  • n == stones.length
  • 2 <= n <= 1000
  • 1 <= stones[i] <= 1000

解法

方法一：记忆化搜索

我们先预处理出前缀和数组 $s$，其中 $s[i]$ 表示前 $i$ 个石头的总和。

接下来，设计一个函数 $dfs(i, j)$，表示当剩下的石子为 $stones[i], stones[i + 1], \dots, stones[j]$ 时，先手与后手的得分差值。那么答案即为 $dfs(0, n - 1)$。

函数 $dfs(i, j)$ 的计算过程如下：

  • 如果 $i \gt j$，说明当前没有石子，返回 $0$；
  • 否则，先手有两种选择，分别是移除 $stones[i]$ 或 $stones[j]$，然后计算得分差值，即 $a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j)$ 和 $b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1)$，我们取两者中的较大值作为 $dfs(i, j)$ 的返回值。

过程中，我们使用记忆化搜索，即使用数组 $f$ 记录函数 $dfs(i, j)$ 的返回值，避免重复计算。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为石子的数量。

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class Solution:
    def stoneGameVII(self, stones: List[int]) -> int:
        @cache
        def dfs(i: int, j: int) -> int:
            if i > j:
                return 0
            a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j)
            b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1)
            return max(a, b)

        s = list(accumulate(stones, initial=0))
        ans = dfs(0, len(stones) - 1)
        dfs.cache_clear()
        return ans

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class Solution {
    private int[] s;
    private Integer[][] f;

    public int stoneGameVII(int[] stones) {
        int n = stones.length;
        s = new int[n + 1];
        f = new Integer[n][n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            s[i + 1] = s[i] + stones[i];
        }
        return dfs(0, n - 1);
    }

    private int dfs(int i, int j) {
        if (i > j) {
            return 0;
        }
        if (f[i][j] != null) {
            return f[i][j];
        }
        int a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j);
        int b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1);
        return f[i][j] = Math.max(a, b);
    }
}

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class Solution {
public:
    int stoneGameVII(vector<int>& stones) {
        int n = stones.size();
        int f[n][n];
        memset(f, 0, sizeof f);
        int s[n + 1];
        s[0] = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            s[i + 1] = s[i] + stones[i];
        }
        function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int j) {
            if (i > j) {
                return 0;
            }
            if (f[i][j]) {
                return f[i][j];
            }
            int a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j);
            int b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1);
            return f[i][j] = max(a, b);
        };
        return dfs(0, n - 1);
    }
};

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func stoneGameVII(stones []int) int {
    n := len(stones)
    s := make([]int, n+1)
    f := make([][]int, n)
    for i, x := range stones {
        s[i+1] = s[i] + x
        f[i] = make([]int, n)
    }
    var dfs func(int, int) int
    dfs = func(i, j int) int {
        if i > j {
            return 0
        }
        if f[i][j] != 0 {
            return f[i][j]
        }
        a := s[j+1] - s[i+1] - dfs(i+1, j)
        b := s[j] - s[i] - dfs(i, j-1)
        f[i][j] = max(a, b)
        return f[i][j]
    }
    return dfs(0, n-1)
}

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function stoneGameVII(stones: number[]): number {
    const n = stones.length;
    const s: number[] = Array(n + 1).fill(0);
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        s[i + 1] = s[i] + stones[i];
    }
    const f: number[][] = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill(0));
    const dfs = (i: number, j: number): number => {
        if (i > j) {
            return 0;
        }
        if (f[i][j]) {
            return f[i][j];
        }
        const a = s[j + 1] - s[i + 1] - dfs(i + 1, j);
        const b = s[j] - s[i] - dfs(i, j - 1);
        return (f[i][j] = Math.max(a, b));
    };
    return dfs(0, n - 1);
}

方法二：动态规划

我们可以将方法一中的记忆化搜索转换为动态规划，定义 $f[i][j]$ 表示当剩下的石子为 $stones[i], stones[i + 1], \dots, stones[j]$ 时，先手与后手的得分差值。那么答案即为 $f[0][n - 1]$。

状态转移方程如下：

$$ f[i][j] = \max(s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j], s[j] - s[i] - f[i][j - 1]) $$

在计算 $f[i][j]$ 时，我们需要保证 $f[i + 1][j]$ 和 $f[i][j - 1]$ 已经被计算出来，因此我们需要按照从大到小的顺序枚举 $i$，从小到大的顺序枚举 $j$。

最后，答案即为 $f[0][n - 1]$。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为石子的数量。

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class Solution:
    def stoneGameVII(self, stones: List[int]) -> int:
        s = list(accumulate(stones, initial=0))
        n = len(stones)
        f = [[0] * n for _ in range(n)]
        for i in range(n - 2, -1, -1):
            for j in range(i + 1, n):
                a = s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j]
                b = s[j] - s[i] - f[i][j - 1]
                f[i][j] = max(a, b)
        return f[0][-1]

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class Solution {
    public int stoneGameVII(int[] stones) {
        int n = stones.length;
        int[] s = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            s[i + 1] = s[i] + stones[i];
        }
        int[][] f = new int[n][n];
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                int a = s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j];
                int b = s[j] - s[i] - f[i][j - 1];
                f[i][j] = Math.max(a, b);
            }
        }
        return f[0][n - 1];
    }
}

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class Solution {
public:
    int stoneGameVII(vector<int>& stones) {
        int n = stones.size();
        int s[n + 1];
        memset(s, 0, sizeof(s));
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            s[i + 1] = s[i] + stones[i];
        }
        int f[n][n];
        memset(f, 0, sizeof(f));
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                int a = s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j];
                int b = s[j] - s[i] - f[i][j - 1];
                f[i][j] = max(a, b);
            }
        }
        return f[0][n - 1];
    }
};

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func stoneGameVII(stones []int) int {
    n := len(stones)
    s := make([]int, n+1)
    for i, x := range stones {
        s[i+1] = s[i] + x
    }
    f := make([][]int, n)
    for i := range f {
        f[i] = make([]int, n)
    }
    for i := n - 2; i >= 0; i-- {
        for j := i + 1; j < n; j++ {
            f[i][j] = max(s[j+1]-s[i+1]-f[i+1][j], s[j]-s[i]-f[i][j-1])
        }
    }
    return f[0][n-1]
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function stoneGameVII(stones: number[]): number {
    const n = stones.length;
    const s: number[] = Array(n + 1).fill(0);
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        s[i + 1] = s[i] + stones[i];
    }
    const f: number[][] = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill(0));
    for (let i = n - 2; ~i; --i) {
        for (let j = i + 1; j < n; ++j) {
            f[i][j] = Math.max(s[j + 1] - s[i + 1] - f[i + 1][j], s[j] - s[i] - f[i][j - 1]);
        }
    }
    return f[0][n - 1];
}

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