题目描述
几块石子 排成一行 ，每块石子都有一个关联值，关联值为整数，由数组 stoneValue 给出。
游戏中的每一轮：Alice 会将这行石子分成两个 非空行（即，左侧行和右侧行）；Bob 负责计算每一行的值，即此行中所有石子的值的总和。Bob 会丢弃值最大的行，Alice 的得分为剩下那行的值（每轮累加）。如果两行的值相等，Bob 让 Alice 决定丢弃哪一行。下一轮从剩下的那一行开始。
只 剩下一块石子 时，游戏结束。Alice 的分数最初为 0 。
返回 Alice 能够获得的最大分数 。
示例 1：
输入：stoneValue = [6,2,3,4,5,5]
输出：18
解释：在第一轮中，Alice 将行划分为 [6，2，3]，[4，5，5] 。左行的值是 11 ，右行的值是 14 。Bob 丢弃了右行，Alice 的分数现在是 11 。
在第二轮中，Alice 将行分成 [6]，[2，3] 。这一次 Bob 扔掉了左行，Alice 的分数变成了 16（11 + 5）。
最后一轮 Alice 只能将行分成 [2]，[3] 。Bob 扔掉右行，Alice 的分数现在是 18（16 + 2）。游戏结束，因为这行只剩下一块石头了。
示例 2：
输入：stoneValue = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：28
示例 3：
输入：stoneValue = [4]
输出：0
提示：
1 <= stoneValue.length <= 5001 <= stoneValue[i] <= 10^6
解法
方法一：记忆化搜索 + 剪枝
我们先预处理出前缀和数组 $\textit{s}$，其中 $\textit{s}[i]$ 表示数组 $\textit{stoneValue}$ 前 $i$ 个元素的和。
接下来，我们设计一个函数 $\textit{dfs}(i, j)$，表示数组 $\textit{stoneValue}$ 中下标范围 $[i, j]$ 内的石子，Alice 能够获得的最大分数。那么答案就是 $\textit{dfs}(0, n - 1)$。
函数 $\textit{dfs}(i, j)$ 的计算过程如下：
- 如果 $i \geq j$，说明只剩下一块石子，Alice 无法进行分割，因此返回 $0$。
- 否则，我们枚举分割点 $k$，即 $i \leq k < j$，将数组 $\textit{stoneValue}$ 中下标范围 $[i, j]$ 内的石子分割为 $[i, k]$ 和 $[k + 1, j]$ 两部分，计算出 $a$ 和 $b$，分别表示两部分的石子总和。然后我们分别计算 $\textit{dfs}(i, k)$ 和 $\textit{dfs}(k + 1, j)$，并更新答案。
注意，如果满足 $a < b$ 并且 $\textit{ans} \geq a \times 2$，那么这一次枚举可以跳过；如果满足 $a > b$ 并且 $\textit{ans} \geq b \times 2$，那么后续的枚举都可以跳过，直接退出循环。
最后，我们返回答案即可。
为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索，同时使用剪枝优化枚举的效率。
时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为数组 $\textit{stoneValue}$ 的长度。
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29 | def max(a: int, b: int) -> int:
return a if a > b else b
class Solution:
def stoneGameV(self, stoneValue: List[int]) -> int:
@cache
def dfs(i: int, j: int) -> int:
if i >= j:
return 0
ans = l = 0
r = s[j + 1] - s[i]
for k in range(i, j):
l += stoneValue[k]
r -= stoneValue[k]
if l < r:
if ans >= l * 2:
continue
ans = max(ans, l + dfs(i, k))
elif l > r:
if ans >= r * 2:
break
ans = max(ans, r + dfs(k + 1, j))
else:
ans = max(ans, max(l + dfs(i, k), r + dfs(k + 1, j)))
return ans
s = list(accumulate(stoneValue, initial=0))
return dfs(0, len(stoneValue) - 1)
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45 | class Solution {
private int n;
private int[] s;
private int[] nums;
private Integer[][] f;
public int stoneGameV(int[] stoneValue) {
n = stoneValue.length;
s = new int[n + 1];
nums = stoneValue;
f = new Integer[n][n];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
s[i] = s[i - 1] + nums[i - 1];
}
return dfs(0, n - 1);
}
private int dfs(int i, int j) {
if (i >= j) {
return 0;
}
if (f[i][j] != null) {
return f[i][j];
}
int ans = 0, l = 0, r = s[j + 1] - s[i];
for (int k = i; k < j; ++k) {
l += nums[k];
r -= nums[k];
if (l < r) {
if (ans > l * 2) {
continue;
}
ans = Math.max(ans, l + dfs(i, k));
} else if (l > r) {
if (ans > r * 2) {
break;
}
ans = Math.max(ans, r + dfs(k + 1, j));
} else {
ans = Math.max(ans, Math.max(l + dfs(i, k), r + dfs(k + 1, j)));
}
}
return f[i][j] = ans;
}
}
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41 | class Solution {
public:
int stoneGameV(vector<int>& stoneValue) {
int n = stoneValue.size();
int s[n + 1];
s[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
s[i + 1] = s[i] + stoneValue[i];
}
int f[n][n];
memset(f, -1, sizeof(f));
auto dfs = [&](this auto&& dfs, int i, int j) -> int {
if (i >= j) {
return 0;
}
if (f[i][j] != -1) {
return f[i][j];
}
int ans = 0, l = 0, r = s[j + 1] - s[i];
for (int k = i; k < j; ++k) {
l += stoneValue[k];
r -= stoneValue[k];
if (l < r) {
if (ans > l * 2) {
continue;
}
ans = max(ans, l + dfs(i, k));
} else if (l > r) {
if (ans > r * 2) {
break;
}
ans = max(ans, r + dfs(k + 1, j));
} else {
ans = max({ans, l + dfs(i, k), r + dfs(k + 1, j)});
}
}
return f[i][j] = ans;
};
return dfs(0, n - 1);
}
};
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44 | func stoneGameV(stoneValue []int) int {
n := len(stoneValue)
s := make([]int, n+1)
for i, x := range stoneValue {
s[i+1] = s[i] + x
}
f := make([][]int, n)
for i := range f {
f[i] = make([]int, n)
for j := range f[i] {
f[i][j] = -1
}
}
var dfs func(int, int) int
dfs = func(i, j int) int {
if i >= j {
return 0
}
if f[i][j] != -1 {
return f[i][j]
}
ans, l, r := 0, 0, s[j+1]-s[i]
for k := i; k < j; k++ {
l += stoneValue[k]
r -= stoneValue[k]
if l < r {
if ans > l*2 {
continue
}
ans = max(ans, dfs(i, k)+l)
} else if l > r {
if ans > r*2 {
break
}
ans = max(ans, dfs(k+1, j)+r)
} else {
ans = max(ans, max(dfs(i, k), dfs(k+1, j))+l)
}
}
f[i][j] = ans
return ans
}
return dfs(0, n-1)
}
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38 | function stoneGameV(stoneValue: number[]): number {
const n = stoneValue.length;
const s: number[] = Array(n + 1).fill(0);
for (let i = 0; i < n; i++) {
s[i + 1] = s[i] + stoneValue[i];
}
const f: number[][] = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill(-1));
const dfs = (i: number, j: number): number => {
if (i >= j) {
return 0;
}
if (f[i][j] !== -1) {
return f[i][j];
}
let [ans, l, r] = [0, 0, s[j + 1] - s[i]];
for (let k = i; k < j; ++k) {
l += stoneValue[k];
r -= stoneValue[k];
if (l < r) {
if (ans > l * 2) {
continue;
}
ans = Math.max(ans, l + dfs(i, k));
} else if (l > r) {
if (ans > r * 2) {
break;
}
ans = Math.max(ans, r + dfs(k + 1, j));
} else {
ans = Math.max(ans, l + dfs(i, k), r + dfs(k + 1, j));
}
}
return (f[i][j] = ans);
};
return dfs(0, n - 1);
}
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