1547. 切棍子的最小成本

题目描述

有一根长度为 n 个单位的木棍，棍上从 0 到 n 标记了若干位置。例如，长度为 6 的棍子可以标记如下：

给你一个整数数组 cuts ，其中 cuts[i] 表示你需要将棍子切开的位置。

你可以按顺序完成切割，也可以根据需要更改切割的顺序。

每次切割的成本都是当前要切割的棍子的长度，切棍子的总成本是历次切割成本的总和。对棍子进行切割将会把一根木棍分成两根较小的木棍（这两根木棍的长度和就是切割前木棍的长度）。请参阅第一个示例以获得更直观的解释。

返回切棍子的 最小总成本 。

示例 1：

输入：n = 7, cuts = [1,3,4,5]
输出：16
解释：按 [1, 3, 4, 5] 的顺序切割的情况如下所示：

第一次切割长度为 7 的棍子，成本为 7 。第二次切割长度为 6 的棍子（即第一次切割得到的第二根棍子），第三次切割为长度 4 的棍子，最后切割长度为 3 的棍子。总成本为 7 + 6 + 4 + 3 = 20 。
而将切割顺序重新排列为 [3, 5, 1, 4] 后，总成本 = 16（如示例图中 7 + 4 + 3 + 2 = 16）。

示例 2：

输入：n = 9, cuts = [5,6,1,4,2]
输出：22
解释：如果按给定的顺序切割，则总成本为 25 。总成本 <= 25 的切割顺序很多，例如，[4, 6, 5, 2, 1] 的总成本 = 22，是所有可能方案中成本最小的。

提示：

2 <= n <= 10^6
1 <= cuts.length <= min(n - 1, 100)
1 <= cuts[i] <= n - 1
cuts 数组中的所有整数都 互不相同

解法

方法一：动态规划（区间 DP）

我们可以往切割点数组 \(\textit{cuts}\) 中添加两个元素，分别是 \(0\) 和 \(n\)，表示棍子的两端。然后我们对 \(\textit{cuts}\) 数组进行排序，这样我们就可以将整个棍子切割为若干个区间，每个区间都有两个切割点。不妨设此时 \(\textit{cuts}\) 数组的长度为 \(m\)。

接下来，我们定义 \(\textit{f}[i][j]\) 表示切割区间 \([\textit{cuts}[i],..\textit{cuts}[j]]\) 的最小成本。

如果一个区间只有两个切割点，也就是说，我们无需切割这个区间，那么 \(\textit{f}[i][j] = 0\)。

否则，我们枚举区间的长度 \(l\)，其中 \(l\) 等于切割点的数量减去 \(1\)。然后我们枚举区间的左端点 \(i\)，右端点 \(j\) 可以由 \(i + l\) 得到。对于每个区间，我们枚举它的切割点 \(k\)，其中 \(i \lt k \lt j\)，那么我们可以将区间 \([i, j]\) 切割为 \([i, k]\) 和 \([k, j]\)，此时的成本为 \(\textit{f}[i][k] + \textit{f}[k][j] + \textit{cuts}[j] - \textit{cuts}[i]\)，我们取所有可能的 \(k\) 中的最小值，即为 \(\textit{f}[i][j]\) 的值。

最后，我们返回 \(\textit{f}[0][m - 1]\)。

时间复杂度 \(O(m^3)\)，空间复杂度 \(O(m^2)\)。其中 \(m\) 为修改后的 \(\textit{cuts}\) 数组的长度。

Python3JavaC++GoTypeScript

class Solution:
    def minCost(self, n: int, cuts: List[int]) -> int:
        cuts.extend([0, n])
        cuts.sort()
        m = len(cuts)
        f = [[0] * m for _ in range(m)]
        for l in range(2, m):
            for i in range(m - l):
                j = i + l
                f[i][j] = inf
                for k in range(i + 1, j):
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + cuts[j] - cuts[i])
        return f[0][-1]

class Solution {
    public int minCost(int n, int[] cuts) {
        List<Integer> nums = new ArrayList<>();
        for (int x : cuts) {
            nums.add(x);
        }
        nums.add(0);
        nums.add(n);
        Collections.sort(nums);
        int m = nums.size();
        int[][] f = new int[m][m];
        for (int l = 2; l < m; ++l) {
            for (int i = 0; i + l < m; ++i) {
                int j = i + l;
                f[i][j] = 1 << 30;
                for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
                    f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + nums.get(j) - nums.get(i));
                }
            }
        }
        return f[0][m - 1];
    }
}

class Solution {
public:
    int minCost(int n, vector<int>& cuts) {
        cuts.push_back(0);
        cuts.push_back(n);
        sort(cuts.begin(), cuts.end());
        int m = cuts.size();
        int f[110][110]{};
        for (int l = 2; l < m; ++l) {
            for (int i = 0; i + l < m; ++i) {
                int j = i + l;
                f[i][j] = 1 << 30;
                for (int k = i + 1; k < j; ++k) {
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + cuts[j] - cuts[i]);
                }
            }
        }
        return f[0][m - 1];
    }
};

func minCost(n int, cuts []int) int {
    cuts = append(cuts, []int{0, n}...)
    sort.Ints(cuts)
    m := len(cuts)
    f := make([][]int, m)
    for i := range f {
        f[i] = make([]int, m)
    }
    for l := 2; l < m; l++ {
        for i := 0; i+l < m; i++ {
            j := i + l
            f[i][j] = 1 << 30
            for k := i + 1; k < j; k++ {
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k]+f[k][j]+cuts[j]-cuts[i])
            }
        }
    }
    return f[0][m-1]
}

function minCost(n: number, cuts: number[]): number {
    cuts.push(0, n);
    cuts.sort((a, b) => a - b);
    const m = cuts.length;
    const f: number[][] = Array.from({ length: m }, () => Array(m).fill(0));
    for (let l = 2; l < m; l++) {
        for (let i = 0; i < m - l; i++) {
            const j = i + l;
            f[i][j] = Infinity;
            for (let k = i + 1; k < j; k++) {
                f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + cuts[j] - cuts[i]);
            }
        }
    }
    return f[0][m - 1];
}

方法二：动态规划（另一种枚举方式）

我们也可以从大到小枚举 \(i\)，从小到大枚举 \(j\)，这样可以保证在计算 \(f[i][j]\) 时，状态 \(f[i][k]\) 和 \(f[k][j]\) 都已经被计算过了，其中 \(i \lt k \lt j\)。