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1545. 找出第 N 个二进制字符串中的第 K 位

题目描述

给你两个正整数 n 和 k，二进制字符串  Sn 的形成规则如下：

  • S1 = "0"
  • 当 i > 1 时，Si = Si-1 + "1" + reverse(invert(Si-1))

其中 + 表示串联操作，reverse(x) 返回反转 x 后得到的字符串，而 invert(x) 则会翻转 x 中的每一位（0 变为 1，而 1 变为 0）。

例如，符合上述描述的序列的前 4 个字符串依次是：

  • S1 = "0"
  • S2 = "011"
  • S3 = "0111001"
  • S4 = "011100110110001"

请你返回  Sn 的 第 k 位字符 ，题目数据保证 k 一定在 Sn 长度范围以内。

 

示例 1：

输入：n = 3, k = 1
输出："0"
解释：S3 为 "0111001"，其第 1 位为 "0" 。

示例 2：

输入：n = 4, k = 11
输出："1"
解释：S4 为 "011100110110001"，其第 11 位为 "1" 。

示例 3：

输入：n = 1, k = 1
输出："0"

示例 4：

输入：n = 2, k = 3
输出："1"

 

提示：

  • 1 <= n <= 20
  • 1 <= k <= 2n - 1

解法

方法一：分类讨论 + 递归

我们可以发现，对于 $S_n$，其前半部分和 $S_{n-1}$ 是一样的，而后半部分是 $S_{n-1}$ 的反转取反。因此我们可以设计一个函数 $dfs(n, k)$，表示第 $n$ 个字符串的第 $k$ 位字符。答案即为 $dfs(n, k)$。

函数 $dfs(n, k)$ 的计算过程如下：

  • 如果 $k = 1$，那么答案为 $0$；
  • 如果 $k$ 是 $2$ 的幂次方，那么答案为 $1$；
  • 如果 $k \times 2 \lt 2^n - 1$，说明 $k$ 在前半部分，答案为 $dfs(n - 1, k)$；
  • 否则，答案为 $dfs(n - 1, 2^n - k) \oplus 1$，其中 $\oplus$ 表示异或运算。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为题目给定的 $n$。

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class Solution:
    def findKthBit(self, n: int, k: int) -> str:
        def dfs(n: int, k: int) -> int:
            if k == 1:
                return 0
            if (k & (k - 1)) == 0:
                return 1
            m = 1 << n
            if k * 2 < m - 1:
                return dfs(n - 1, k)
            return dfs(n - 1, m - k) ^ 1

        return str(dfs(n, k))

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class Solution {
    public char findKthBit(int n, int k) {
        return (char) ('0' + dfs(n, k));
    }

    private int dfs(int n, int k) {
        if (k == 1) {
            return 0;
        }
        if ((k & (k - 1)) == 0) {
            return 1;
        }
        int m = 1 << n;
        if (k * 2 < m - 1) {
            return dfs(n - 1, k);
        }
        return dfs(n - 1, m - k) ^ 1;
    }
}

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class Solution {
public:
    char findKthBit(int n, int k) {
        function<int(int, int)> dfs = [&](int n, int k) {
            if (k == 1) {
                return 0;
            }
            if ((k & (k - 1)) == 0) {
                return 1;
            }
            int m = 1 << n;
            if (k * 2 < m - 1) {
                return dfs(n - 1, k);
            }
            return dfs(n - 1, m - k) ^ 1;
        };
        return '0' + dfs(n, k);
    }
};

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func findKthBit(n int, k int) byte {
    var dfs func(n, k int) int
    dfs = func(n, k int) int {
        if k == 1 {
            return 0
        }
        if k&(k-1) == 0 {
            return 1
        }
        m := 1 << n
        if k*2 < m-1 {
            return dfs(n-1, k)
        }
        return dfs(n-1, m-k) ^ 1
    }
    return byte('0' + dfs(n, k))
}

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function findKthBit(n: number, k: number): string {
    const dfs = (n: number, k: number): number => {
        if (k === 1) {
            return 0;
        }
        if ((k & (k - 1)) === 0) {
            return 1;
        }
        const m = 1 << n;
        if (k * 2 < m - 1) {
            return dfs(n - 1, k);
        }
        return dfs(n - 1, m - k) ^ 1;
    };
    return dfs(n, k).toString();
}

方法二：位运算

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const findKthBit = (n: number, k: number): string =>
    String((((k / (k & -k)) >> 1) & 1) ^ (k & 1) ^ 1);

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const findKthBit = (n, k) => String((((k / (k & -k)) >> 1) & 1) ^ (k & 1) ^ 1);

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