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1510. 石子游戏 IV

题目描述

Alice 和 Bob 两个人轮流玩一个游戏,Alice 先手。

一开始,有 n 个石子堆在一起。每个人轮流操作,正在操作的玩家可以从石子堆里拿走 任意 非零 平方数 个石子。

如果石子堆里没有石子了,则无法操作的玩家输掉游戏。

给你正整数 n ,且已知两个人都采取最优策略。如果 Alice 会赢得比赛,那么返回 True ,否则返回 False 。

 

示例 1:

输入:n = 1
输出:true
解释:Alice 拿走 1 个石子并赢得胜利,因为 Bob 无法进行任何操作。

示例 2:

输入:n = 2
输出:false
解释:Alice 只能拿走 1 个石子,然后 Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利(2 -> 1 -> 0)。

示例 3:

输入:n = 4
输出:true
解释:n 已经是一个平方数,Alice 可以一次全拿掉 4 个石子并赢得胜利(4 -> 0)。

示例 4:

输入:n = 7
输出:false
解释:当 Bob 采取最优策略时,Alice 无法赢得比赛。
如果 Alice 一开始拿走 4 个石子, Bob 会拿走 1 个石子,然后 Alice 只能拿走 1 个石子,Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利(7 -> 3 -> 2 -> 1 -> 0)。
如果 Alice 一开始拿走 1 个石子, Bob 会拿走 4 个石子,然后 Alice 只能拿走 1 个石子,Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利(7 -> 6 -> 2 -> 1 -> 0)。

示例 5:

输入:n = 17
输出:false
解释:如果 Bob 采取最优策略,Alice 无法赢得胜利。

 

提示:

  • 1 <= n <= 10^5

解法

方法一:记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i)$,表示当前石子堆中有 $i$ 个石子时,当前玩家是否能赢得比赛。如果当前玩家能赢得比赛,则返回 $true$,否则返回 $false$。那么答案即为 $dfs(n)$。

函数 $dfs(i)$ 的计算过程如下:

  • 如果 $i \leq 0$,说明当前玩家无法进行任何操作,因此当前玩家输掉比赛,返回 $false$;
  • 否则,枚举当前玩家可以拿走的石子数量 $j$,其中 $j$ 为平方数,如果当前玩家拿走 $j$ 个石子后,另一个玩家无法赢得比赛,则当前玩家赢得比赛,返回 $true$。如果枚举完所有的 $j$,都无法满足上述条件,则当前玩家输掉比赛,返回 $false$。

为了避免重复计算,我们可以使用记忆化搜索,即使用数组 $f$ 记录函数 $dfs(i)$ 的计算结果。

时间复杂度 $O(n \times \sqrt{n})$,空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为石子堆中石子的数量。

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class Solution:
    def winnerSquareGame(self, n: int) -> bool:
        @cache
        def dfs(i: int) -> bool:
            if i == 0:
                return False
            j = 1
            while j * j <= i:
                if not dfs(i - j * j):
                    return True
                j += 1
            return False

        return dfs(n)
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class Solution {
    private Boolean[] f;

    public boolean winnerSquareGame(int n) {
        f = new Boolean[n + 1];
        return dfs(n);
    }

    private boolean dfs(int i) {
        if (i <= 0) {
            return false;
        }
        if (f[i] != null) {
            return f[i];
        }
        for (int j = 1; j <= i / j; ++j) {
            if (!dfs(i - j * j)) {
                return f[i] = true;
            }
        }
        return f[i] = false;
    }
}
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class Solution {
public:
    bool winnerSquareGame(int n) {
        int f[n + 1];
        memset(f, 0, sizeof(f));
        function<bool(int)> dfs = [&](int i) -> bool {
            if (i <= 0) {
                return false;
            }
            if (f[i] != 0) {
                return f[i] == 1;
            }
            for (int j = 1; j <= i / j; ++j) {
                if (!dfs(i - j * j)) {
                    f[i] = 1;
                    return true;
                }
            }
            f[i] = -1;
            return false;
        };
        return dfs(n);
    }
};
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func winnerSquareGame(n int) bool {
    f := make([]int, n+1)
    var dfs func(int) bool
    dfs = func(i int) bool {
        if i <= 0 {
            return false
        }
        if f[i] != 0 {
            return f[i] == 1
        }
        for j := 1; j <= i/j; j++ {
            if !dfs(i - j*j) {
                f[i] = 1
                return true
            }
        }
        f[i] = -1
        return false
    }
    return dfs(n)
}
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function winnerSquareGame(n: number): boolean {
    const f: number[] = new Array(n + 1).fill(0);
    const dfs = (i: number): boolean => {
        if (i <= 0) {
            return false;
        }
        if (f[i] !== 0) {
            return f[i] === 1;
        }
        for (let j = 1; j * j <= i; ++j) {
            if (!dfs(i - j * j)) {
                f[i] = 1;
                return true;
            }
        }
        f[i] = -1;
        return false;
    };
    return dfs(n);
}

方法二:动态规划

我们也可以使用动态规划求解本题。

定义数组 $f$,其中 $f[i]$ 表示当前石子堆中有 $i$ 个石子时,当前玩家是否能赢得比赛。如果当前玩家能赢得比赛,则 $f[i]$ 为 $true$,否则为 $false$。那么答案即为 $f[n]$。

我们在 $[1,..n]$ 的范围内枚举 $i$,并在 $[1,..i]$ 的范围内枚举 $j$,其中 $j$ 为平方数,如果当前玩家拿走 $j$ 个石子后,另一个玩家无法赢得比赛,则当前玩家赢得比赛,即 $f[i] = true$。如果枚举完所有的 $j$,都无法满足上述条件,则当前玩家输掉比赛,即 $f[i] = false$。因此我们可以得到状态转移方程:

$$ f[i]= \begin{cases} true, & \textit{if } \exists j \in [1,..i], j^2 \leq i \textit{ and } f[i-j^2] = false\ false, & \textit{otherwise} \end{cases} $$

最后,我们返回 $f[n]$ 即可。

时间复杂度 $O(n \times \sqrt{n})$,空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为石子堆中石子的数量。

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class Solution:
    def winnerSquareGame(self, n: int) -> bool:
        f = [False] * (n + 1)
        for i in range(1, n + 1):
            j = 1
            while j <= i // j:
                if not f[i - j * j]:
                    f[i] = True
                    break
                j += 1
        return f[n]
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class Solution {
    public boolean winnerSquareGame(int n) {
        boolean[] f = new boolean[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i / j; ++j) {
                if (!f[i - j * j]) {
                    f[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return f[n];
    }
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class Solution {
public:
    bool winnerSquareGame(int n) {
        bool f[n + 1];
        memset(f, false, sizeof(f));
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i / j; ++j) {
                if (!f[i - j * j]) {
                    f[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return f[n];
    }
};
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func winnerSquareGame(n int) bool {
    f := make([]bool, n+1)
    for i := 1; i <= n; i++ {
        for j := 1; j <= i/j; j++ {
            if !f[i-j*j] {
                f[i] = true
                break
            }
        }
    }
    return f[n]
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function winnerSquareGame(n: number): boolean {
    const f: boolean[] = new Array(n + 1).fill(false);
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        for (let j = 1; j * j <= i; ++j) {
            if (!f[i - j * j]) {
                f[i] = true;
                break;
            }
        }
    }
    return f[n];
}

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