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1462. 课程表 IV

题目描述

你总共需要上 numCourses 门课，课程编号依次为 0 到 numCourses-1 。你会得到一个数组 prerequisite ，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] 表示如果你想选 bi 课程，你 必须 先选 ai 课程。

  • 有的课会有直接的先修课程，比如如果想上课程 1 ，你必须先上课程 0 ，那么会以 [0,1] 数对的形式给出先修课程数对。

先决条件也可以是 间接 的。如果课程 a 是课程 b 的先决条件，课程 b 是课程 c 的先决条件，那么课程 a 就是课程 c 的先决条件。

你也得到一个数组 queries ，其中 queries[j] = [uj, vj]。对于第 j 个查询，您应该回答课程 uj 是否是课程 vj 的先决条件。

返回一个布尔数组 answer ，其中 answer[j] 是第 j 个查询的答案。

 

示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]], queries = [[0,1],[1,0]]
输出：[false,true]
解释：[1, 0] 数对表示在你上课程 0 之前必须先上课程 1。
课程 0 不是课程 1 的先修课程，但课程 1 是课程 0 的先修课程。

示例 2：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [], queries = [[1,0],[0,1]]
输出：[false,false]
解释：没有先修课程对，所以每门课程之间是独立的。

示例 3：

输入：numCourses = 3, prerequisites = [[1,2],[1,0],[2,0]], queries = [[1,0],[1,2]]
输出：[true,true]

 

提示：

  • 2 <= numCourses <= 100
  • 0 <= prerequisites.length <= (numCourses * (numCourses - 1) / 2)
  • prerequisites[i].length == 2
  • 0 <= ai, bi <= numCourses - 1
  • ai != bi
  • 每一对 [ai, bi] 都 不同
  • 先修课程图中没有环。
  • 1 <= queries.length <= 104
  • 0 <= ui, vi <= numCourses - 1
  • ui != vi

解法

方法一：Floyd 算法

我们创建一个二维数组 $f$，其中 $f[i][j]$ 表示节点 $i$ 到节点 $j$ 是否可达。

接下来，我们遍历先修课程数组 $prerequisites$，对于其中的每一项 $[a, b]$，我们将 $f[a][b]$ 设为 $true$。

然后，我们使用 Floyd 算法计算出所有节点对之间的可达性。

具体地，我们使用三重循环，首先枚举中间点 $k$，接下来枚举起点 $i$，最后枚举终点 $j$。对于每一次循环，如果节点 $i$ 到节点 $k$ 可达，且节点 $k$ 到节点 $j$ 可达，那么节点 $i$ 到节点 $j$ 也是可达的，我们将 $f[i][j]$ 设为 $true$。

在计算完所有节点对之间的可达性之后，对于每一个查询 $[a, b]$，我们直接返回 $f[a][b]$ 即可。

时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为节点数。

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class Solution:
    def checkIfPrerequisite(
        self, n: int, prerequisites: List[List[int]], queries: List[List[int]]
    ) -> List[bool]:
        f = [[False] * n for _ in range(n)]
        for a, b in prerequisites:
            f[a][b] = True
        for k in range(n):
            for i in range(n):
                for j in range(n):
                    if f[i][k] and f[k][j]:
                        f[i][j] = True
        return [f[a][b] for a, b in queries]

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class Solution {
    public List<Boolean> checkIfPrerequisite(int n, int[][] prerequisites, int[][] queries) {
        boolean[][] f = new boolean[n][n];
        for (var p : prerequisites) {
            f[p[0]][p[1]] = true;
        }
        for (int k = 0; k < n; ++k) {
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                for (int j = 0; j < n; ++j) {
                    f[i][j] |= f[i][k] && f[k][j];
                }
            }
        }
        List<Boolean> ans = new ArrayList<>();
        for (var q : queries) {
            ans.add(f[q[0]][q[1]]);
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    vector<bool> checkIfPrerequisite(int n, vector<vector<int>>& prerequisites, vector<vector<int>>& queries) {
        bool f[n][n];
        memset(f, false, sizeof(f));
        for (auto& p : prerequisites) {
            f[p[0]][p[1]] = true;
        }
        for (int k = 0; k < n; ++k) {
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                for (int j = 0; j < n; ++j) {
                    f[i][j] |= (f[i][k] && f[k][j]);
                }
            }
        }
        vector<bool> ans;
        for (auto& q : queries) {
            ans.push_back(f[q[0]][q[1]]);
        }
        return ans;
    }
};

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func checkIfPrerequisite(n int, prerequisites [][]int, queries [][]int) (ans []bool) {
    f := make([][]bool, n)
    for i := range f {
        f[i] = make([]bool, n)
    }
    for _, p := range prerequisites {
        f[p[0]][p[1]] = true
    }
    for k := 0; k < n; k++ {
        for i := 0; i < n; i++ {
            for j := 0; j < n; j++ {
                f[i][j] = f[i][j] || (f[i][k] && f[k][j])
            }
        }
    }
    for _, q := range queries {
        ans = append(ans, f[q[0]][q[1]])
    }
    return
}

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function checkIfPrerequisite(n: number, prerequisites: number[][], queries: number[][]): boolean[] {
    const f = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill(false));
    prerequisites.forEach(([a, b]) => (f[a][b] = true));
    for (let k = 0; k < n; ++k) {
        for (let i = 0; i < n; ++i) {
            for (let j = 0; j < n; ++j) {
                f[i][j] ||= f[i][k] && f[k][j];
            }
        }
    }
    return queries.map(([a, b]) => f[a][b]);
}

方法二：拓扑排序

与方法一类似，我们创建一个二维数组 $f$，其中 $f[i][j]$ 表示节点 $i$ 到节点 $j$ 是否可达。另外，我们创建一个邻接表 $g$，其中 $g[i]$ 表示节点 $i$ 的所有后继节点；创建一个数组 $indeg$，其中 $indeg[i]$ 表示节点 $i$ 的入度。

接下来，我们遍历先修课程数组 $prerequisites$，对于其中的每一项 $[a, b]$，我们更新邻接表 $g$ 和入度数组 $indeg$。

然后，我们使用拓扑排序计算出所有节点对之间的可达性。

定义一个队列 $q$，初始时将所有入度为 $0$ 的节点加入队列中。随后不断进行以下操作：取出队首节点 $i$，然后遍历 $g[i]$ 中的所有节点 $j$，将 $f[i][j]$ 设为 $true$。接下来，我们枚举节点 $h$，如果 $f[h][i]$ 为 $true$，那么我们也将 $f[h][j]$ 设为 $true$。在这之后，我们将 $j$ 的入度减少 $1$。如果此时 $j$ 的入度为 $0$，那么我们就将 $j$ 加入队列中。

在计算完所有节点对之间的可达性之后，对于每一个查询 $[a, b]$，我们直接返回 $f[a][b]$ 即可。

时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 为节点数。

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class Solution:
    def checkIfPrerequisite(
        self, n: int, prerequisites: List[List[int]], queries: List[List[int]]
    ) -> List[bool]:
        f = [[False] * n for _ in range(n)]
        g = [[] for _ in range(n)]
        indeg = [0] * n
        for a, b in prerequisites:
            g[a].append(b)
            indeg[b] += 1
        q = deque(i for i, x in enumerate(indeg) if x == 0)
        while q:
            i = q.popleft()
            for j in g[i]:
                f[i][j] = True
                for h in range(n):
                    f[h][j] = f[h][j] or f[h][i]
                indeg[j] -= 1
                if indeg[j] == 0:
                    q.append(j)
        return [f[a][b] for a, b in queries]

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class Solution {
    public List<Boolean> checkIfPrerequisite(int n, int[][] prerequisites, int[][] queries) {
        boolean[][] f = new boolean[n][n];
        List<Integer>[] g = new List[n];
        int[] indeg = new int[n];
        Arrays.setAll(g, i -> new ArrayList<>());
        for (var p : prerequisites) {
            g[p[0]].add(p[1]);
            ++indeg[p[1]];
        }
        Deque<Integer> q = new ArrayDeque<>();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (indeg[i] == 0) {
                q.offer(i);
            }
        }
        while (!q.isEmpty()) {
            int i = q.poll();
            for (int j : g[i]) {
                f[i][j] = true;
                for (int h = 0; h < n; ++h) {
                    f[h][j] |= f[h][i];
                }
                if (--indeg[j] == 0) {
                    q.offer(j);
                }
            }
        }
        List<Boolean> ans = new ArrayList<>();
        for (var qry : queries) {
            ans.add(f[qry[0]][qry[1]]);
        }
        return ans;
    }
}

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class Solution {
public:
    vector<bool> checkIfPrerequisite(int n, vector<vector<int>>& prerequisites, vector<vector<int>>& queries) {
        bool f[n][n];
        memset(f, false, sizeof(f));
        vector<int> g[n];
        vector<int> indeg(n);
        for (auto& p : prerequisites) {
            g[p[0]].push_back(p[1]);
            ++indeg[p[1]];
        }
        queue<int> q;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (indeg[i] == 0) {
                q.push(i);
            }
        }
        while (!q.empty()) {
            int i = q.front();
            q.pop();
            for (int j : g[i]) {
                f[i][j] = true;
                for (int h = 0; h < n; ++h) {
                    f[h][j] |= f[h][i];
                }
                if (--indeg[j] == 0) {
                    q.push(j);
                }
            }
        }
        vector<bool> ans;
        for (auto& qry : queries) {
            ans.push_back(f[qry[0]][qry[1]]);
        }
        return ans;
    }
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func checkIfPrerequisite(n int, prerequisites [][]int, queries [][]int) (ans []bool) {
    f := make([][]bool, n)
    for i := range f {
        f[i] = make([]bool, n)
    }
    g := make([][]int, n)
    indeg := make([]int, n)
    for _, p := range prerequisites {
        a, b := p[0], p[1]
        g[a] = append(g[a], b)
        indeg[b]++
    }
    q := []int{}
    for i, x := range indeg {
        if x == 0 {
            q = append(q, i)
        }
    }
    for len(q) > 0 {
        i := q[0]
        q = q[1:]
        for _, j := range g[i] {
            f[i][j] = true
            for h := 0; h < n; h++ {
                f[h][j] = f[h][j] || f[h][i]
            }
            indeg[j]--
            if indeg[j] == 0 {
                q = append(q, j)
            }
        }
    }
    for _, q := range queries {
        ans = append(ans, f[q[0]][q[1]])
    }
    return
}

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function checkIfPrerequisite(n: number, prerequisites: number[][], queries: number[][]): boolean[] {
    const f = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill(false));
    const g: number[][] = Array.from({ length: n }, () => []);
    const indeg: number[] = Array(n).fill(0);
    for (const [a, b] of prerequisites) {
        g[a].push(b);
        ++indeg[b];
    }
    const q: number[] = [];
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        if (indeg[i] === 0) {
            q.push(i);
        }
    }
    while (q.length) {
        const i = q.shift()!;
        for (const j of g[i]) {
            f[i][j] = true;
            for (let h = 0; h < n; ++h) {
                f[h][j] ||= f[h][i];
            }
            if (--indeg[j] === 0) {
                q.push(j);
            }
        }
    }
    return queries.map(([a, b]) => f[a][b]);
}

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