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1388. 3n 块披萨

题目描述

给你一个披萨，它由 3n 块不同大小的部分组成，现在你和你的朋友们需要按照如下规则来分披萨：

  • 你挑选 任意 一块披萨。
  • Alice 将会挑选你所选择的披萨逆时针方向的下一块披萨。
  • Bob 将会挑选你所选择的披萨顺时针方向的下一块披萨。
  • 重复上述过程直到没有披萨剩下。

每一块披萨的大小按顺时针方向由循环数组 slices 表示。

请你返回你可以获得的披萨大小总和的最大值。

 

示例 1：

输入：slices = [1,2,3,4,5,6]
输出：10
解释：选择大小为 4 的披萨，Alice 和 Bob 分别挑选大小为 3 和 5 的披萨。然后你选择大小为 6 的披萨，Alice 和 Bob 分别挑选大小为 2 和 1 的披萨。你获得的披萨总大小为 4 + 6 = 10 。

示例 2：

输入：slices = [8,9,8,6,1,1]
输出：16
解释：两轮都选大小为 8 的披萨。如果你选择大小为 9 的披萨，你的朋友们就会选择大小为 8 的披萨，这种情况下你的总和不是最大的。

 

提示：

  • 1 <= slices.length <= 500
  • slices.length % 3 == 0
  • 1 <= slices[i] <= 1000

解法

方法一：动态规划

我们可以将这个问题转化为：在一个长度为 $3n$ 的环形数组中，选择其中 $n$ 个不相邻的数，使得这 $n$ 个数的和最大。

证明如下：

  • 当 $n = 1$ 时，我们可以选择数组中的任意一个数。
  • 当 $n \gt 1$ 时，那么一定存在一个数，使得它的某一侧有两个连续的数没有被选择，而另一侧至少有一个数没有被选择。因此，我们可以将这个数和它两侧的数一起从数组中删除，然后剩下的 $3(n - 1)$ 个数构成一个新的环形数组。问题规模缩小成了在长度为 $3(n - 1)$ 的环形数组中选择 $n - 1$ 个不相邻的数，使得这 $n - 1$ 个数的和最大。

因此，我们需要求解的问题可以转化为：在一个长度为 $3n$ 的环形数组中，选择其中 $n$ 个不相邻的数，使得这 $n$ 个数的和最大。

环形数组中，如果选择了第一个数，那么最后一个数就不能选择，如果选择了最后一个数，那么第一个数就不能选择，因此我们可以将环形数组拆成两个数组，一个是去掉第一个数的，一个是去掉最后一个数的，然后分别求解这两个数组的最大值，最后取两个最大值中的较大值即可。

我们用一个函数 $g(nums)$，表示在数组 $nums$ 中选择 $n$ 个不相邻的数，使得这 $n$ 个数的和最大，那么我们的目标就是求 $g(slices)$ 和 $g(slices[1:])$ 中的较大值。

函数 $g(nums)$ 的求解方法如下：

我们记数组 $nums$ 的长度为 $m$，定义 $f[i][j]$ 表示在数组 $nums$ 的前 $i$ 个数中选择 $j$ 个不相邻的数的最大和。

考虑 $f[i][j]$，如果我们不选择第 $i$ 个数，那么 $f[i][j] = f[i - 1][j]$，如果我们选择第 $i$ 个数，那么 $f[i][j] = f[i - 2][j - 1] + nums[i - 1]$，因此我们可以得到状态转移方程：

$$ f[i][j] = \max(f[i - 1][j], f[i - 2][j - 1] + nums[i - 1]) $$

最后返回 $f[m][n]$ 即可。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n^2)$。其中 $n$ 是数组 $slices$ 的长度。

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class Solution:
    def maxSizeSlices(self, slices: List[int]) -> int:
        def g(nums: List[int]) -> int:
            m = len(nums)
            f = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
            for i in range(1, m + 1):
                for j in range(1, n + 1):
                    f[i][j] = max(
                        f[i - 1][j], (f[i - 2][j - 1] if i >= 2 else 0) + nums[i - 1]
                    )
            return f[m][n]

        n = len(slices) // 3
        a, b = g(slices[:-1]), g(slices[1:])
        return max(a, b)

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class Solution {
    private int n;

    public int maxSizeSlices(int[] slices) {
        n = slices.length / 3;
        int[] nums = new int[slices.length - 1];
        System.arraycopy(slices, 1, nums, 0, nums.length);
        int a = g(nums);
        System.arraycopy(slices, 0, nums, 0, nums.length);
        int b = g(nums);
        return Math.max(a, b);
    }

    private int g(int[] nums) {
        int m = nums.length;
        int[][] f = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], (i >= 2 ? f[i - 2][j - 1] : 0) + nums[i - 1]);
            }
        }
        return f[m][n];
    }
}

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class Solution {
public:
    int maxSizeSlices(vector<int>& slices) {
        int n = slices.size() / 3;
        auto g = [&](vector<int>& nums) -> int {
            int m = nums.size();
            int f[m + 1][n + 1];
            memset(f, 0, sizeof f);
            for (int i = 1; i <= m; ++i) {
                for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                    f[i][j] = max(f[i - 1][j], (i >= 2 ? f[i - 2][j - 1] : 0) + nums[i - 1]);
                }
            }
            return f[m][n];
        };
        vector<int> nums(slices.begin(), slices.end() - 1);
        int a = g(nums);
        nums = vector<int>(slices.begin() + 1, slices.end());
        int b = g(nums);
        return max(a, b);
    }
};

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func maxSizeSlices(slices []int) int {
    n := len(slices) / 3
    g := func(nums []int) int {
        m := len(nums)
        f := make([][]int, m+1)
        for i := range f {
            f[i] = make([]int, n+1)
        }
        for i := 1; i <= m; i++ {
            for j := 1; j <= n; j++ {
                f[i][j] = max(f[i-1][j], nums[i-1])
                if i >= 2 {
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i-2][j-1]+nums[i-1])
                }
            }
        }
        return f[m][n]
    }
    a, b := g(slices[:len(slices)-1]), g(slices[1:])
    return max(a, b)
}

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function maxSizeSlices(slices: number[]): number {
    const n = Math.floor(slices.length / 3);
    const g = (nums: number[]): number => {
        const m = nums.length;
        const f: number[][] = Array(m + 1)
            .fill(0)
            .map(() => Array(n + 1).fill(0));
        for (let i = 1; i <= m; ++i) {
            for (let j = 1; j <= n; ++j) {
                f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], (i > 1 ? f[i - 2][j - 1] : 0) + nums[i - 1]);
            }
        }
        return f[m][n];
    };
    const a = g(slices.slice(0, -1));
    const b = g(slices.slice(1));
    return Math.max(a, b);
}

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