1228. 等差数列中缺失的数字 🔒

题目描述

在某个数组 arr 中，值符合等差数列的数值规律：在 0 <= i < arr.length - 1 的前提下，arr[i+1] - arr[i] 的值都相等。

我们会从该数组中删除一个 既不是第一个 也 不是最后一个的值，得到一个新的数组 arr。

给你这个缺值的数组 arr，返回 被删除的那个数 。

示例 1：

输入：arr = [5,7,11,13]
输出：9
解释：原来的数组是 [5,7,9,11,13]。

示例 2：

输入：arr = [15,13,12]
输出：14
解释：原来的数组是 [15,14,13,12]。

提示：

3 <= arr.length <= 1000
0 <= arr[i] <= 10⁵
给定的数组保证是一个有效的数组。

解法

方法一：等差数列求和公式

等差数列求和公式为 \(\frac{(a_1 + a_n)n}{2}\)，其中 \(n\) 为等差数列的项数，等差数列的首项为 \(a_1\)，末项为 \(a_n\)。

因为题目中给出的数组是一个等差数列，且缺失了一个数，所以数组的项数为 \(n + 1\)，首项为 \(a_1\)，末项为 \(a_n\)，则数组的和为 \(\frac{(a_1 + a_n)(n + 1)}{2}\)。

因此，缺失的数为 \(\frac{(a_1 + a_n)(n + 1)}{2} - \sum_{i = 0}^n a_i\)。

时间复杂度 \(O(n)\)，其中 \(n\) 为数组的长度。空间复杂度 \(O(1)\)。

Python3JavaC++GoTypeScript

class Solution:
    def missingNumber(self, arr: List[int]) -> int:
        return (arr[0] + arr[-1]) * (len(arr) + 1) // 2 - sum(arr)

class Solution {
    public int missingNumber(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int x = (arr[0] + arr[n - 1]) * (n + 1) / 2;
        int y = Arrays.stream(arr).sum();
        return x - y;
    }
}

class Solution {
public:
    int missingNumber(vector<int>& arr) {
        int n = arr.size();
        int x = (arr[0] + arr[n - 1]) * (n + 1) / 2;
        int y = accumulate(arr.begin(), arr.end(), 0);
        return x - y;
    }
};

func missingNumber(arr []int) int {
    n := len(arr)
    x := (arr[0] + arr[n-1]) * (n + 1) / 2
    y := 0
    for _, v := range arr {
        y += v
    }
    return x - y
}

function missingNumber(arr: number[]): number {
    const x = ((arr[0] + arr.at(-1)!) * (arr.length + 1)) >> 1;
    const y = arr.reduce((acc, cur) => acc + cur, 0);
    return x - y;
}

方法二：求公差 + 遍历

因为题目中给出的数组是一个等差数列，且缺失了一个数，首项为 \(a_1\)，末项为 \(a_n\)，那么公差 \(d = \frac{a_n - a_1}{n}\)。

遍历数组，如果 \(a_i \neq a_{i - 1} + d\)，则返回 \(a_{i - 1} + d\)。

如果遍历完数组都没有找到缺失的数，说明数组的所有数都相等，直接返回数组的第一个数即可。