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1135. 最低成本连通所有城市 🔒

题目描述

想象一下你是个城市基建规划者，地图上有 n 座城市，它们按以 1 到 n 的次序编号。

给你整数 n 和一个数组 conections，其中 connections[i] = [xi, yi, costi] 表示将城市 xi 和城市 yi 连接所要的costi（连接是双向的）。

返回连接所有城市的最低成本，每对城市之间至少有一条路径。如果无法连接所有 n 个城市，返回 -1

该 最小成本 应该是所用全部连接成本的总和。

 

示例 1：

输入：n = 3, conections = [[1,2,5],[1,3,6],[2,3,1]]
输出：6
解释：选出任意 2 条边都可以连接所有城市，我们从中选取成本最小的 2 条。

示例 2：

输入：n = 4, conections = [[1,2,3],[3,4,4]]
输出：-1
解释：即使连通所有的边，也无法连接所有城市。

 

提示：

  • 1 <= n <= 104
  • 1 <= connections.length <= 104
  • connections[i].length == 3
  • 1 <= xi, yi <= n
  • xi != yi
  • 0 <= costi <= 105

解法

方法一：Kruskal 算法

Kruskal 算法是一种贪心算法，用于计算最小生成树。

Kruskal 算法的基本思想是，每次从边集中选择一条最小的边，如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通分量中，则将这条边加入到最小生成树中，否则舍弃这条边。

对于本题，我们可以将边按照连通成本从小到大排序，用并查集维护连通分量，每次选择一条最小的边，如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通分量中，则合并这两个顶点，然后累加连通成本。如果出现连通份量为 $1$ 的情况，则说明所有顶点都连通了，返回累加的连通成本，否则返回 $-1$。

时间复杂度 $O(m \times \log m)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别为边数和顶点数。

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class Solution:
    def minimumCost(self, n: int, connections: List[List[int]]) -> int:
        def find(x):
            if p[x] != x:
                p[x] = find(p[x])
            return p[x]

        connections.sort(key=lambda x: x[2])
        p = list(range(n))
        ans = 0
        for x, y, cost in connections:
            x, y = x - 1, y - 1
            if find(x) == find(y):
                continue
            p[find(x)] = find(y)
            ans += cost
            n -= 1
            if n == 1:
                return ans
        return -1

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class Solution {
    private int[] p;

    public int minimumCost(int n, int[][] connections) {
        Arrays.sort(connections, Comparator.comparingInt(a -> a[2]));
        p = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            p[i] = i;
        }
        int ans = 0;
        for (int[] e : connections) {
            int x = e[0] - 1, y = e[1] - 1, cost = e[2];
            if (find(x) == find(y)) {
                continue;
            }
            p[find(x)] = find(y);
            ans += cost;
            if (--n == 1) {
                return ans;
            }
        }
        return -1;
    }

    private int find(int x) {
        if (p[x] != x) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }
}

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class Solution {
public:
    int minimumCost(int n, vector<vector<int>>& connections) {
        vector<int> p(n);
        iota(p.begin(), p.end(), 0);
        sort(connections.begin(), connections.end(), [](auto& a, auto& b) { return a[2] < b[2]; });
        int ans = 0;
        function<int(int)> find = [&](int x) -> int {
            if (p[x] != x) {
                p[x] = find(p[x]);
            }
            return p[x];
        };
        for (auto& e : connections) {
            int x = e[0] - 1, y = e[1] - 1, cost = e[2];
            if (find(x) == find(y)) {
                continue;
            }
            p[find(x)] = find(y);
            ans += cost;
            if (--n == 1) {
                return ans;
            }
        }
        return -1;
    }
};

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func minimumCost(n int, connections [][]int) (ans int) {
    p := make([]int, n)
    for i := range p {
        p[i] = i
    }
    sort.Slice(connections, func(i, j int) bool { return connections[i][2] < connections[j][2] })
    var find func(int) int
    find = func(x int) int {
        if p[x] != x {
            p[x] = find(p[x])
        }
        return p[x]
    }
    for _, e := range connections {
        x, y, cost := e[0]-1, e[1]-1, e[2]
        if find(x) == find(y) {
            continue
        }
        p[find(x)] = find(y)
        ans += cost
        n--
        if n == 1 {
            return
        }
    }
    return -1
}

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function minimumCost(n: number, connections: number[][]): number {
    const p: number[] = Array.from({ length: n }, (_, i) => i);
    const find = (x: number): number => {
        if (p[x] !== x) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    };
    connections.sort((a, b) => a[2] - b[2]);
    let ans = 0;
    for (const [x, y, cost] of connections) {
        if (find(x - 1) === find(y - 1)) {
            continue;
        }
        p[find(x - 1)] = find(y - 1);
        ans += cost;
        if (--n === 1) {
            return ans;
        }
    }
    return -1;
}

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