1025. 除数博弈

题目描述

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 n 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

• 选出任一 x，满足 0 < x < n 且 n % x == 0 。
• 用 n - x 替换黑板上的数字 n 。

如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 true 。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：n = 3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

 

提示：

• 1 <= n <= 1000

解法

方法一：数学归纳法

• 当 \(n=1\)，先手败
• 当 \(n=2\)，先手拿 \(1\)，剩下 \(1\)，后手败，先手胜
• 当 \(n=3\)，先手拿 \(1\)，剩下 \(2\)，后手胜，先手败
• 当 \(n=4\)，先手拿 \(1\)，剩下 \(3\)，后手败，先手胜
• ...

猜想，当 \(n\) 为奇数时，先手败；当 \(n\) 为偶数时，先手胜。

证明：

1. 若 \(n=1\) 或 \(n=2\)，结论成立；
2. 若 \(n \gt 2\)，假设 \(n \le k\) 时，该结论成立，则 \(n=k+1\) 时：
   • 若 \(k+1\) 为奇数，由于 \(x\) 是 \(k+1\) 的因数，那么 \(x\) 只可能是奇数，因此 \(k+1-x\) 为偶数，后手胜，先手败；
   • 若 \(k+1\) 为偶数，此时 \(x\) 既可以是奇数 \(1\)，也可以是偶数，若 \(x\) 取奇数，那么 \(k+1-x\) 为奇数，后手败，先手胜。

综上，当 \(n\) 为奇数时，先手败；当 \(n\) 为偶数时，先手胜。结论正确。

时间复杂度 \(O(1)\)，空间复杂度 \(O(1)\)。

Python3JavaC++GoJavaScript

class Solution:
    def divisorGame(self, n: int) -> bool:
        return n % 2 == 0

class Solution {
    public boolean divisorGame(int n) {
        return n % 2 == 0;
    }
}

class Solution {
public:
    bool divisorGame(int n) {
        return n % 2 == 0;
    }
};

func divisorGame(n int) bool {
    return n%2 == 0
}

var divisorGame = function (n) {
    return n % 2 === 0;
};

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