题目描述
给定正整数 n，返回在 [1, n] 范围内具有 至少 1 位 重复数字的正整数的个数。
示例 1：
输入：n = 20
输出：1
解释：具有至少 1 位重复数字的正数（<= 20）只有 11 。
示例 2：
输入：n = 100
输出：10
解释：具有至少 1 位重复数字的正数（<= 100）有 11，22，33，44，55，66，77，88，99 和 100 。
示例 3：
输入：n = 1000
输出：262
提示：
解法
方法一：状态压缩 + 数位 DP
题目要求统计 \([1,..n]\) 中至少有一位重复的数字的个数，我们可以换一种思路，用一个函数 \(f(n)\) 统计 \([1,..n]\) 中没有重复数字的个数，那么答案就是 \(n - f(n)\)。
另外，我们可以用一个二进制数来记录数字中出现过的数字，比如数字中出现了 \(1\), \(2\), \(4\)，那么对应的二进制数就是 \(\underline{1}0\underline{1}\underline{1}0\)。
接下来，我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终的答案。
基本步骤如下：
我们将数字 \(n\) 转为字符串 \(s\)，接下来，我们设计一个函数 \(\textit{dfs}(i, \textit{mask}, \textit{lead}, \textit{limit})\)，其中：
- 数字 \(i\) 表示当前处理的数字下标，从 \(0\) 开始。
- 数字 \(\textit{mask}\) 表示当前数字中出现过的数字，用二进制数表示。其中 \(\textit{mask}\) 的二进制的第 \(j\) 位为 \(1\) 表示数字 \(j\) 出现过，为 \(0\) 表示数字 \(j\) 没有出现过。
- 布尔值 \(\textit{lead}\) 表示是否只包含前导零。
- 布尔值 \(\textit{limit}\) 表示当前位置是否受到上界的限制。
函数的执行过程如下：
如果 \(i\) 大于等于 \(m\)，说明我们已经处理完了所有的位数，此时如果 \(\textit{lead}\) 为真，说明当前的数字是前导零，我们应当返回 \(0\)；否则，我们应当返回 \(1\)。
否则，我们计算当前位置的上界 \(\textit{up}\)，如果 \(\textit{limit}\) 为真，则 \(up\) 为 \(s[i]\) 对应的数字，否则 \(up\) 为 \(9\)。
然后，我们在 \([0, \textit{up}]\) 的范围内枚举当前位置的数字 \(j\)，如果 \(j\) 为 \(0\) 且 \(\textit{lead}\) 为真，我们递归计算 \(\textit{dfs}(i + 1, \textit{mask}, \text{true}, \textit{limit} \wedge j = \textit{up})\)；否则，如果 \(\textit{mask}\) 的第 \(j\) 位为 \(0\)，我们递归计算 \(\textit{dfs}(i + 1, \textit{mask} \,|\, 2^j, \text{false}, \textit{limit} \wedge j = \textit{up})\)。累加所有的结果即为答案。
答案为 \(n - \textit{dfs}(0, 0, \text{true}, \text{true})\)。
时间复杂度 \(O(\log n \times 2^D \times D)\)，空间复杂度 \(O(\log n \times 2^D)\)。其中 \(D = 10\)。
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17 | class Solution:
def numDupDigitsAtMostN(self, n: int) -> int:
@cache
def dfs(i: int, mask: int, lead: bool, limit: bool) -> int:
if i >= len(s):
return lead ^ 1
up = int(s[i]) if limit else 9
ans = 0
for j in range(up + 1):
if lead and j == 0:
ans += dfs(i + 1, mask, True, False)
elif mask >> j & 1 ^ 1:
ans += dfs(i + 1, mask | 1 << j, False, limit and j == up)
return ans
s = str(n)
return n - dfs(0, 0, True, True)
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32 | class Solution {
private char[] s;
private Integer[][] f;
public int numDupDigitsAtMostN(int n) {
s = String.valueOf(n).toCharArray();
f = new Integer[s.length][1 << 10];
return n - dfs(0, 0, true, true);
}
private int dfs(int i, int mask, boolean lead, boolean limit) {
if (i >= s.length) {
return lead ? 0 : 1;
}
if (!lead && !limit && f[i][mask] != null) {
return f[i][mask];
}
int up = limit ? s[i] - '0' : 9;
int ans = 0;
for (int j = 0; j <= up; ++j) {
if (lead && j == 0) {
ans += dfs(i + 1, mask, true, false);
} else if ((mask >> j & 1) == 0) {
ans += dfs(i + 1, mask | 1 << j, false, limit && j == up);
}
}
if (!lead && !limit) {
f[i][mask] = ans;
}
return ans;
}
}
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31 | class Solution {
public:
int numDupDigitsAtMostN(int n) {
string s = to_string(n);
int m = s.size();
int f[m][1 << 10];
memset(f, -1, sizeof(f));
auto dfs = [&](this auto&& dfs, int i, int mask, bool lead, bool limit) -> int {
if (i >= m) {
return lead ^ 1;
}
if (!lead && !limit && f[i][mask] != -1) {
return f[i][mask];
}
int up = limit ? s[i] - '0' : 9;
int ans = 0;
for (int j = 0; j <= up; ++j) {
if (lead && j == 0) {
ans += dfs(i + 1, mask, true, limit && j == up);
} else if (mask >> j & 1 ^ 1) {
ans += dfs(i + 1, mask | (1 << j), false, limit && j == up);
}
}
if (!lead && !limit) {
f[i][mask] = ans;
}
return ans;
};
return n - dfs(0, 0, true, true);
}
};
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41 | func numDupDigitsAtMostN(n int) int {
s := []byte(strconv.Itoa(n))
m := len(s)
f := make([][]int, m)
for i := range f {
f[i] = make([]int, 1<<10)
for j := range f[i] {
f[i][j] = -1
}
}
var dfs func(i, mask int, lead, limit bool) int
dfs = func(i, mask int, lead, limit bool) int {
if i >= m {
if lead {
return 0
}
return 1
}
if !lead && !limit && f[i][mask] != -1 {
return f[i][mask]
}
up := 9
if limit {
up = int(s[i] - '0')
}
ans := 0
for j := 0; j <= up; j++ {
if lead && j == 0 {
ans += dfs(i+1, mask, true, limit && j == up)
} else if mask>>j&1 == 0 {
ans += dfs(i+1, mask|(1<<j), false, limit && j == up)
}
}
if !lead && !limit {
f[i][mask] = ans
}
return ans
}
return n - dfs(0, 0, true, true)
}
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29 | function numDupDigitsAtMostN(n: number): number {
const s = n.toString();
const m = s.length;
const f = Array.from({ length: m }, () => Array(1 << 10).fill(-1));
const dfs = (i: number, mask: number, lead: boolean, limit: boolean): number => {
if (i >= m) {
return lead ? 0 : 1;
}
if (!lead && !limit && f[i][mask] !== -1) {
return f[i][mask];
}
const up = limit ? parseInt(s[i]) : 9;
let ans = 0;
for (let j = 0; j <= up; j++) {
if (lead && j === 0) {
ans += dfs(i + 1, mask, true, limit && j === up);
} else if (((mask >> j) & 1) === 0) {
ans += dfs(i + 1, mask | (1 << j), false, limit && j === up);
}
}
if (!lead && !limit) {
f[i][mask] = ans;
}
return ans;
};
return n - dfs(0, 0, true, true);
}
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