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1000. 合并石头的最低成本

题目描述

有 n 堆石头排成一排，第 i 堆中有 stones[i] 块石头。

每次 移动 需要将 连续的 k 堆石头合并为一堆，而这次移动的成本为这 k 堆中石头的总数。

返回把所有石头合并成一堆的最低成本。如果无法合并成一堆，返回 -1 。

 

示例 1：

输入：stones = [3,2,4,1], K = 2
输出：20
解释：
从 [3, 2, 4, 1] 开始。
合并 [3, 2]，成本为 5，剩下 [5, 4, 1]。
合并 [4, 1]，成本为 5，剩下 [5, 5]。
合并 [5, 5]，成本为 10，剩下 [10]。
总成本 20，这是可能的最小值。

示例 2：

输入：stones = [3,2,4,1], K = 3
输出：-1
解释：任何合并操作后，都会剩下 2 堆，我们无法再进行合并。所以这项任务是不可能完成的。.

示例 3：

输入：stones = [3,5,1,2,6], K = 3
输出：25
解释：
从 [3, 5, 1, 2, 6] 开始。
合并 [5, 1, 2]，成本为 8，剩下 [3, 8, 6]。
合并 [3, 8, 6]，成本为 17，剩下 [17]。
总成本 25，这是可能的最小值。

 

提示：

  • n == stones.length
  • 1 <= n <= 30
  • 1 <= stones[i] <= 100
  • 2 <= k <= 30

解法

方法一：动态规划（区间 DP）+ 前缀和

我们不妨记题目中的 \(k\) 为 \(K\)，石头的堆数为 \(n\)。

定义 \(f[i][j][k]\) 表示将区间 \([i, j]\) 中的石头合并成 \(k\) 堆的最小成本。初始时 \(f[i][i][1] = 0\)，其他位置的值均为 \(\infty\)。

注意到 \(k\) 的取值范围为 \([1, K]\)，因此我们需要枚举 \(k\) 的值。

对于 \(f[i][j][k]\)，我们可以枚举 \(i \leq h \lt j\)，将区间 \([i, j]\) 拆分成两个区间 \([i, h]\) 和 \([h + 1, j]\)，然后将 \([i, h]\) 中的石头合并成 \(1\) 堆，将 \([h + 1, j]\) 中的石头合并成 \(k - 1\) 堆，最后将这两堆石头合并成一堆，这样就可以将区间 \([i, j]\) 中的石头合并成 \(k\) 堆。因此，我们可以得到状态转移方程：

\[ f[i][j][k] = \min_{i \leq h < j} \{f[i][h][1] + f[h + 1][j][k - 1]\} \]

我们将区间 \([i, j]\) 的 \(K\) 堆石头合并成一堆，因此 \(f[i][j][1] = f[i][j][K] + \sum_{t = i}^j stones[t]\)，其中 \(\sum_{t = i}^j stones[t]\) 表示区间 \([i, j]\) 中石头的总数。

最后答案即为 \(f[1][n][1]\)，其中 \(n\) 为石头的堆数。

时间复杂度 \(O(n^3 \times k)\)，空间复杂度 \(O(n^2 \times k)\)。其中 \(n\) 为石头的堆数。

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class Solution:
    def mergeStones(self, stones: List[int], K: int) -> int:
        n = len(stones)
        if (n - 1) % (K - 1):
            return -1
        s = list(accumulate(stones, initial=0))
        f = [[[inf] * (K + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]
        for i in range(1, n + 1):
            f[i][i][1] = 0
        for l in range(2, n + 1):
            for i in range(1, n - l + 2):
                j = i + l - 1
                for k in range(1, K + 1):
                    for h in range(i, j):
                        f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i][h][1] + f[h + 1][j][k - 1])
                f[i][j][1] = f[i][j][K] + s[j] - s[i - 1]
        return f[1][n][1]

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class Solution {
    public int mergeStones(int[] stones, int K) {
        int n = stones.length;
        if ((n - 1) % (K - 1) != 0) {
            return -1;
        }
        int[] s = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            s[i] = s[i - 1] + stones[i - 1];
        }
        int[][][] f = new int[n + 1][n + 1][K + 1];
        final int inf = 1 << 20;
        for (int[][] g : f) {
            for (int[] e : g) {
                Arrays.fill(e, inf);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            f[i][i][1] = 0;
        }
        for (int l = 2; l <= n; ++l) {
            for (int i = 1; i + l - 1 <= n; ++i) {
                int j = i + l - 1;
                for (int k = 1; k <= K; ++k) {
                    for (int h = i; h < j; ++h) {
                        f[i][j][k] = Math.min(f[i][j][k], f[i][h][1] + f[h + 1][j][k - 1]);
                    }
                }
                f[i][j][1] = f[i][j][K] + s[j] - s[i - 1];
            }
        }
        return f[1][n][1];
    }
}

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class Solution {
public:
    int mergeStones(vector<int>& stones, int K) {
        int n = stones.size();
        if ((n - 1) % (K - 1)) {
            return -1;
        }
        int s[n + 1];
        s[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            s[i] = s[i - 1] + stones[i - 1];
        }
        int f[n + 1][n + 1][K + 1];
        memset(f, 0x3f, sizeof(f));
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            f[i][i][1] = 0;
        }
        for (int l = 2; l <= n; ++l) {
            for (int i = 1; i + l - 1 <= n; ++i) {
                int j = i + l - 1;
                for (int k = 1; k <= K; ++k) {
                    for (int h = i; h < j; ++h) {
                        f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i][h][1] + f[h + 1][j][k - 1]);
                    }
                }
                f[i][j][1] = f[i][j][K] + s[j] - s[i - 1];
            }
        }
        return f[1][n][1];
    }
};

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func mergeStones(stones []int, K int) int {
    n := len(stones)
    if (n-1)%(K-1) != 0 {
        return -1
    }
    s := make([]int, n+1)
    for i, x := range stones {
        s[i+1] = s[i] + x
    }
    f := make([][][]int, n+1)
    for i := range f {
        f[i] = make([][]int, n+1)
        for j := range f[i] {
            f[i][j] = make([]int, K+1)
            for k := range f[i][j] {
                f[i][j][k] = 1 << 20
            }
        }
    }
    for i := 1; i <= n; i++ {
        f[i][i][1] = 0
    }
    for l := 2; l <= n; l++ {
        for i := 1; i <= n-l+1; i++ {
            j := i + l - 1
            for k := 2; k <= K; k++ {
                for h := i; h < j; h++ {
                    f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i][h][k-1]+f[h+1][j][1])
                }
            }
            f[i][j][1] = f[i][j][K] + s[j] - s[i-1]
        }
    }
    return f[1][n][1]
}

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